Determine o limite infinito em cada item e diga qual é sua assíntota vertical

Passo 1

Enunciado: calcular o limite limx to 4^+ ln(x^2 - 16) e identificar a assíntota vertical associada. O conteúdo envolve limites laterais de funções logarítmicas e análise de domínio.

Passo 2

Para que ln(x^2 - 16) exista, precisamos de x^2 - 16 > 0. Isso implica x > 4 ou x < -4. Como o limite é x to 4^+, consideramos apenas x > 4.

Passo 3

Observando x to 4^+, temos x^2 - 16 = (x - 4)(x + 4). Aqui x - 4 to 0^+ e x + 4 to 8, logo x^2 - 16 to 0^+.

Passo 4

Pela propriedade do logaritmo, quando o argumento t tende a 0^+, ln(t) to -infty. Portanto, limx to 4^+ ln(x^2 - 16) = -infty.

Passo 5

Como a função diverge para -infty ao se aproximar de x = 4 pela direita, concluímos que há uma assíntota vertical em x = 4.

Resposta

O limite é -infty e a assíntota vertical é x = 4.

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