Escolha um dos itens e resolva:
Encontre uma equação do plano tangente ao gráfico z=e^x y no ponto (0,1)

Passo 1

Temos a superfície definida por z = e^xy e queremos o plano tangente no ponto do domínio (x0,y0) = (0,1). No gráfico em R^3, esse ponto corresponde a (0,1,z0) com z0 = e^0cdot1 = 1. Para resolver, vamos precisar da fórmula do plano tangente em funções de duas variáveis e das derivadas parciais de f(x,y)=e^xy.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de f(x,y):
fx(x,y)=partialpartial xe^xy=y,e^xy,
fy(x,y)=partialpartial ye^xy=x,e^xy
Agora avaliamos em (0,1): temos fx(0,1)=1cdot e^0=1 e fy(0,1)=0cdot e^0=0.

Passo 3

Usamos a fórmula do plano tangente em (x0,y0,z0):
z = z0 + fx(x0,y0)(x-x0) + fy(x0,y0)(y-y0)
Substituindo x0=0, y0=1, z0=1, fx(0,1)=1 e fy(0,1)=0, obtemos
z = 1 + 1,(x-0) + 0,(y-1),
que simplifica para z = 1 + x.

Resposta

z = 1 + x

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