Determine o limite infinito
\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \ln (\operatorname{sen} x)

Passo 1

O enunciado pede o valor de \displaystyle \lim_{x\to0^+}\ln\bigl(\sin x\bigr).
O conteúdo envolvido é análise de limites envolvendo logaritmo e equivalentes infinitesimais. Vamos usar o fato clássico de que, quando x\to0, \sin x é equivalente a x, e as propriedades do logaritmo.

Passo 2

Usamos o limite fundamental \displaystyle \lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1.
Isso significa que, para x pequeno e positivo, \sin x\approx x, ou seja, \sin x = x\cdot\bigl(\sin x/x\bigr) com \sin x/x\to1.

Passo 3

Escrevendo
\ln\bigl(\sin x\bigr) =\ln\bigl(x\cdot\tfrac{\sin x}{x}\bigr) =\ln x + \ln\!\bigl(\tfrac{\sin x}{x}\bigr),
vemos que \ln(\sin x/x)\to\ln1=0, então
\ln\bigl(\sin x\bigr) \sim\ln x \quad\text{quando }x\to0^+.
E sabemos que \displaystyle \lim_{x\to0^+}\ln x=-\infty.

Resposta

\lim_{x\to0^+}\ln\bigl(\sin x\bigr)=-\infty.

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