Determine o limite infinito
\lim _{x \rightarrow(\pi / 2)^{+}} \frac{1}{x} \operatorname{sec} x

Passo 1

O enunciado pede o limite
\lim_{x\to(\pi/2)^{+}}\frac{1}{x}\operatorname{sec} x
Este é um caso de limite infinito numa vizinhança lateral de x=\pi/2. Vamos usar o comportamento de \cos x e, portanto, de \operatorname{sec} x=1/\cos x quando x se aproxima de \pi/2 pela direita.

Passo 2

Quando x\to(\pi/2)^{+}, temos \cos x \to 0 e, como em (\pi/2,\pi) o cosseno é negativo, concluímos que
\cos x \to 0^{-}.

Passo 3

Como \operatorname{sec} x = 1/\cos x, o fato de \cos x\to0^{-} implica
\operatorname{sec} x \to -\infty.

Passo 4

Finalmente, x\to\pi/2 é finito e positivo, logo
\frac{\operatorname{sec} x}{x}\;\approx\;\frac{-\infty}{\pi/2}\;=\;-\,\infty.

Resposta

-\infty

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