34. \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \ln (\operatorname{sen} x) 34. \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \ln (\operatorname{sen} x)

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\lim_{x \to 0^+} \ln\bigl(\operatorname{sen} x\bigr).
Aqui o conteúdo é limite de função composta com logaritmo e comportamento de \operatorname{sen} x perto de zero. Vamos usar a equivalência trigonométrica e propriedades do logaritmo.

Passo 2

Para x\to0^+ temos \operatorname{sen} x>0, então \ln(\operatorname{sen} x) está bem definido. Sabemos também que
\operatorname{sen} x\sim x \quad\text{quando }x\to0,
ou seja, \displaystyle \lim_{x\to0}\frac{\operatorname{sen} x}{x}=1.

Passo 3

Escrevemos
\ln\bigl(\operatorname{sen} x\bigr) =\ln\!\Bigl(x\cdot\frac{\operatorname{sen} x}{x}\Bigr) =\ln x + \ln\!\Bigl(\frac{\operatorname{sen} x}{x}\Bigr).
Como \displaystyle \lim_{x\to0^+}\frac{\operatorname{sen} x}{x}=1, segue
\lim_{x\to0^+}\ln\!\Bigl(\tfrac{\operatorname{sen} x}{x}\Bigr) =\ln1 =0.

Passo 4

Resta então analisar \displaystyle \lim_{x\to0^+}\ln x. Sabemos que
\lim_{x\to0^+}\ln x = -\infty.
Somando os resultados,
\lim_{x\to0^+}\ln(\operatorname{sen} x) =\lim_{x\to0^+}\ln x + 0 =-\infty.

Resposta

-\infty

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