1- Demonstre a seguinte propriedade de integral:
Sejam f, g integráveis em [a, b] e k uma constante em \mathbb{R}. Então, se c \in] a, b[ e fé integrável em [a, c] e em [c, b] teremos:
\int_{a}^{b} k \cdot f(x) d x=k \cdot\left[\int_{a}^{c} f(x) d x+\int_{c}^{b} f(x) d x\right]

Passo 1

O enunciado pede para demonstrar, para uma função f integrável em [a,c] e em [c,b] e uma constante k\in\mathbb{R}, que
\int_{a}^{b} k\,f(x)\,dx \;=\; k\Bigl[\int_{a}^{c} f(x)\,dx \;+\;\int_{c}^{b} f(x)\,dx\Bigr].
O assunto aqui é a teoria de Riemann: precisamos usar dois teoremas clássicos – a aditividade da integral sobre o intervalo e a homogeneidade (linearidade em escala) da integral.

Passo 2

(Aditividade da integral)
Se f é Riemann-integrável em [a,c] e em [c,b], então também é integrável em [a,b] e vale
\int_{a}^{b} f(x)\,dx \;=\;\int_{a}^{c} f(x)\,dx \;+\;\int_{c}^{b} f(x)\,dx.
Esboço da prova:
– Para dado \varepsilon>0, escolha partições P_1 de [a,c] e P_2 de [c,b] tais que
U(f,P_1)-L(f,P_1)<\tfrac\varepsilon2 \quad\text{e}\quad U(f,P_2)-L(f,P_2)<\tfrac\varepsilon2.
– Seja P=P_1\cup P_2 partição de [a,b]. Então
U(f,P)-L(f,P) =(U(f,P_1)-L(f,P_1))+(U(f,P_2)-L(f,P_2)) <\varepsilon,
o que mostra que f é integrável em [a,b].
– Comparando as somas superiores e inferiores, chega-se à igualdade dos integrais parciais somados.

Passo 3

(Homogeneidade da integral)
Se f é integrável em [a,b] e k\in\mathbb{R}, então k\,f é integrável em [a,b] e
\int_{a}^{b} k\,f(x)\,dx = k\int_{a}^{b} f(x)\,dx.
Esboço da prova:
– Se k>0, então em cada subintervalo \sup(kf)=k\,\sup(f) e \inf(kf)=k\,\inf(f), logo
U(kf,P)=k\,U(f,P),\quad L(kf,P)=k\,L(f,P).
– Se k<0, troca-se o papel de supremo e ínfimo, mas chega-se ao mesmo resultado global \;U(kf,P)-L(kf,P)=|k|\,(U(f,P)-L(f,P)).
– Como U(f,P)-L(f,P)\to0, segue que kf é integrável e a integral escala por k.

Passo 4

(Juntando aditividade e homogeneidade)
Aplicamos a homogeneidade em cada subintervalo e depois a aditividade:
\int_{a}^{b} k\,f(x)\,dx =\int_{a}^{c} k\,f(x)\,dx \;+\;\int_{c}^{b} k\,f(x)\,dx =k\int_{a}^{c} f(x)\,dx \;+\;k\int_{c}^{b} f(x)\,dx =k\Bigl[\int_{a}^{c} f(x)\,dx+\int_{c}^{b} f(x)\,dx\Bigr].

Resposta

\boxed{\int_{a}^{b} k\,f(x)\,dx \;=\;k\Bigl[\int_{a}^{c} f(x)\,dx+\int_{c}^{b} f(x)\,dx\Bigr].}

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