1- Demonstre a seguinte propriedade de integral:
Sejam
integráveis em
e
uma constante em
. Então, se
e fé integrável em
e em
teremos:
Sejam
Passo 1
O enunciado pede para demonstrar, para uma função
integrável em
e em
e uma constante
, que
O assunto aqui é a teoria de Riemann: precisamos usar dois teoremas clássicos – a aditividade da integral sobre o intervalo e a homogeneidade (linearidade em escala) da integral.
Passo 2
(Aditividade da integral)
Se é Riemann-integrável em
e em
, então também é integrável em
e vale
Se
Esboço da prova:
– Para dado , escolha partições
de
e
de
tais que
– Para dado
– Seja
partição de
. Então
o que mostra que
é integrável em
.
– Comparando as somas superiores e inferiores, chega-se à igualdade dos integrais parciais somados.
– Comparando as somas superiores e inferiores, chega-se à igualdade dos integrais parciais somados.
Passo 3
(Homogeneidade da integral)
Se é integrável em
e
, então
é integrável em
e
Se
Esboço da prova:
– Se , então em cada subintervalo
e
, logo
– Se
– Se
, troca-se o papel de supremo e ínfimo, mas chega-se ao mesmo resultado global
.
– Como , segue que
é integrável e a integral escala por
.
– Como
Passo 4
(Juntando aditividade e homogeneidade)
Aplicamos a homogeneidade em cada subintervalo e depois a aditividade:
Aplicamos a homogeneidade em cada subintervalo e depois a aditividade: