Determine o limite de \left(x_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}, nos seguintes casos:
x_{n}=\sqrt[n]{a}, a>0.

Passo 1

O enunciado dá a sequência x_{n} definida por
x_{n}=\sqrt[n]{a},
com a>0. A pergunta é: qual é o limite de \left(x_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}} quando n\to\infty?
Informações relevantes: a é um número fixo e positivo; queremos \lim_{n\to\infty} x_n.

Passo 2

Primeiro passo prático: reescrever a raiz n-ésima como potência. Lembremos que a raiz n-ésima de a é a mesma coisa que elevar a à potência 1/n. Assim
x_n = \sqrt[n]{a} = a^{1/n}.
Isto é só uma troca de notação: trabalhar com potências facilita o uso de logaritmos e limites.

Passo 3

Agora vamos aplicar o logaritmo natural para transformar a potência em produto — isso costuma simplificar limites envolvendo expoentes que dependem de n. Defina
y_n=\ln(x_n).
Como x_n=a^{1/n} e \ln transforma potências em produtos, obtemos
y_n=\ln\!\big(a^{1/n}\big)=\frac{1}{n}\ln a.
Observação importante: podemos tomar \ln a porque a>0, então \ln a está bem definido (é um número real).

Passo 4

Calcule o limite de y_n. Aqui \ln a é uma constante (fixa), e sabemos que
\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0.
Multiplicando por \ln a (constante), obtemos
\lim_{n\to\infty} y_n=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\ln a = 0\cdot\ln a = 0.
Intuitivamente: o expoente 1/n vai a zero, então o produto com qualquer constante finita vai a zero.

Passo 5

Relacionar o limite de y_n com o limite de x_n. Temos x_n = e^{y_n} (pois x_n=a^{1/n}=e^{\ln(a^{1/n})}=e^{y_n}). Usamos aqui uma propriedade básica de limites e continuidade: a função exponencial t\mapsto e^{t} é contínua em todo \mathbb{R}. Portanto, se y_n\to 0 então
\lim_{n\to\infty} x_n = \lim_{n\to\infty} e^{y_n} = e^{\lim_{n\to\infty} y_n} = e^{0}=1.
Essa é a passagem chave: transformar em log, achar limite do log e voltar com exponencial usando continuidade.

Passo 6

Comentário sobre os casos particulares (pra fixar a intuição):
  • Se a=1, então x_n=\sqrt[n]{1}=1 para todo n, logo o limite é 1.
  • Se a>1, os termos x_n=a^{1/n} são maiores que 1 mas vão se aproximando de 1 pela direita (decrescem para 1).
  • Se 0<a<1, os termos são menores que 1 mas vão se aproximando de 1 pela esquerda (crescem para 1).
    Em todos os casos o limite é o mesmo: 1.

Passo 7

Exemplo numérico rápido para ganhar confiança: tome a=8. Então x_n=\sqrt[n]{8}. Para n=1,2,3,4 temos 8, \sqrt{8}\approx2, \sqrt[3]{8}=2, \sqrt[4]{8}\approx1,681\ldots e conforme n aumenta esses valores vão se aproximando cada vez mais de 1. É a intuição confirmando o cálculo formal.

Resposta

\displaystyle \lim_{n\to\infty} x_n = 1

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