Determine o limite de
, nos seguintes casos:
.
Passo 1
O enunciado dá a sequência
definida por
com
. A pergunta é: qual é o limite de
quando
?
Informações relevantes: é um número fixo e positivo; queremos
.
Informações relevantes:
Passo 2
Primeiro passo prático: reescrever a raiz
-ésima como potência. Lembremos que a raiz
-ésima de
é a mesma coisa que elevar
à potência
. Assim
Isto é só uma troca de notação: trabalhar com potências facilita o uso de logaritmos e limites.
Passo 3
Agora vamos aplicar o logaritmo natural para transformar a potência em produto — isso costuma simplificar limites envolvendo expoentes que dependem de
. Defina
Como
e
transforma potências em produtos, obtemos
Observação importante: podemos tomar
porque
, então
está bem definido (é um número real).
Passo 4
Calcule o limite de
. Aqui
é uma constante (fixa), e sabemos que
Multiplicando por
(constante), obtemos
Intuitivamente: o expoente
vai a zero, então o produto com qualquer constante finita vai a zero.
Passo 5
Relacionar o limite de
com o limite de
. Temos
(pois
). Usamos aqui uma propriedade básica de limites e continuidade: a função exponencial
é contínua em todo
. Portanto, se
então
Essa é a passagem chave: transformar em log, achar limite do log e voltar com exponencial usando continuidade.
Passo 6
Comentário sobre os casos particulares (pra fixar a intuição):
- Se
, então para todo , logo o limite é . - Se
, os termos são maiores que mas vão se aproximando de pela direita (decrescem para ). - Se
, os termos são menores que mas vão se aproximando de pela esquerda (crescem para ).
Em todos os casos o limite é o mesmo:.
Passo 7
Exemplo numérico rápido para ganhar confiança: tome
. Então
. Para
temos
e conforme
aumenta esses valores vão se aproximando cada vez mais de
. É a intuição confirmando o cálculo formal.