Determine o limite de \left(x_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}, nos seguintes casos:
x_{n}=(\sin (n x)) / n.

Passo 1

O enunciado dá a sequência \left(x_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}} definida por
x_{n}=\frac{\sin(n x)}{n},
onde x é um número real fixo (isto é, x não depende de n). A pergunta é: determinar o limite de \left(x_{n}\right) quando n\to\infty.
Informações relevantes fornecidas:
\; - A sequência é explicitamente \;x_{n}=\dfrac{\sin(n x)}{n}.\n \; - A função seno satisfaz \;-1\le \sin(\theta)\le 1 para todo \theta\in\mathbb{R}.\n \; - Os índices n são números naturais positivos, portanto n>0.

Passo 2

Usar uma desigualdade simples para majorar o valor absoluto de x_{n}. Sabemos que, para todo \theta\in\mathbb{R},
-1 \le \sin(\theta) \le 1.
Tomando \theta = n x obtemos
-1 \le \sin(n x) \le 1.
Como n>0, podemos dividir toda a desigualdade por n (dividir por um número positivo preserva as desigualdades) e obter
-\frac{1}{n} \le \frac{\sin(n x)}{n} \le \frac{1}{n}.
Portanto, para todo n\in\mathbb{N},
-\frac{1}{n} \le x_{n} \le \frac{1}{n}.

Passo 3

Calcular os limites das sequências que aparecem nas desigualdades: \left(\dfrac{1}{n}\right) e \left(-\dfrac{1}{n}\right). É bem conhecido (e fácil de ver) que
\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0 \quad\text{e}\quad \lim_{n\to\infty}\left(-\frac{1}{n}\right)=0.
Uma razão intuitiva: conforme n cresce, \dfrac{1}{n} fica cada vez menor e tende a 0.

Passo 4

Aplicar o Teorema do Aperto (também chamado Teorema do Sanduíche ou Squeeze Theorem). O enunciado do teorema é: se a_{n}\le b_{n}\le c_{n} para todo n suficientemente grande e \lim_{n\to\infty}a_{n}=\lim_{n\to\infty}c_{n}=L, então \lim_{n\to\infty}b_{n}=L.
No nosso caso tomamos
a_{n}=-\frac{1}{n},\quad b_{n}=x_{n}=\frac{\sin(n x)}{n},\quad c_{n}=\frac{1}{n},
e vimos que a_{n}\to 0 e c_{n}\to 0. Assim, pelo Teorema do Aperto, segue que
\lim_{n\to\infty}x_{n}=0.

Passo 5

(força da prova via \varepsilon-definição, para quem gosta de rigor) Seja \varepsilon>0. Escolhendo N\in\mathbb{N} tal que N>\dfrac{1}{\varepsilon} (por exemplo N=\left\lceil\dfrac{1}{\varepsilon}\right\rceil), para todo n\ge N temos \dfrac{1}{n}\le \dfrac{1}{N}<\varepsilon. Como |\sin(n x)|\le 1, segue
\left|x_{n}-0\right|=\left|\frac{\sin(n x)}{n}\right|\le \frac{1}{n}\le \frac{1}{N}<\varepsilon.
Isso mostra diretamente, pela definição \varepsilon- N, que \lim_{n\to\infty}x_{n}=0.

Passo 6

Alguns comentários intuitivos e exemplos rápidos para fixar a ideia: se x=0 então \sin(n x)=0 para todo n e a sequência é identicamente zero. Se x=\pi/2 então \sin(n\pi/2) oscila entre -1,0,1, mas a divisão por n faz esses termos oscilar para valores cada vez menores, aproximando-se de 0. Em todos os casos com x real fixo, o denominador n domina e manda a fração para 0.

Resposta

0

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