Determine o limite de \left(x_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}, nos seguintes casos: x_{n}=(\sin (n x)) / n.
Passo 1
O enunciado dá a sequência \left(x_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}} definida por
x_{n}=\frac{\sin(n x)}{n},
onde x é um número real fixo (isto é, x não depende de n). A pergunta é: determinar o limite de \left(x_{n}\right) quando n\to\infty.
Informações relevantes fornecidas: \; - A sequência é explicitamente \;x_{n}=\dfrac{\sin(n x)}{n}.\n\; - A função seno satisfaz \;-1\le \sin(\theta)\le 1 para todo \theta\in\mathbb{R}.\n\; - Os índices n são números naturais positivos, portanto n>0.
Passo 2
Usar uma desigualdade simples para majorar o valor absoluto de x_{n}. Sabemos que, para todo \theta\in\mathbb{R},
-1 \le \sin(\theta) \le 1.
Tomando \theta = n x obtemos
-1 \le \sin(n x) \le 1.
Como n>0, podemos dividir toda a desigualdade por n (dividir por um número positivo preserva as desigualdades) e obter
Calcular os limites das sequências que aparecem nas desigualdades: \left(\dfrac{1}{n}\right) e \left(-\dfrac{1}{n}\right). É bem conhecido (e fácil de ver) que
Uma razão intuitiva: conforme n cresce, \dfrac{1}{n} fica cada vez menor e tende a 0.
Passo 4
Aplicar o Teorema do Aperto (também chamado Teorema do Sanduíche ou Squeeze Theorem). O enunciado do teorema é: se a_{n}\le b_{n}\le c_{n} para todo n suficientemente grande e \lim_{n\to\infty}a_{n}=\lim_{n\to\infty}c_{n}=L, então \lim_{n\to\infty}b_{n}=L.
No nosso caso tomamos
e vimos que a_{n}\to 0 e c_{n}\to 0. Assim, pelo Teorema do Aperto, segue que
\lim_{n\to\infty}x_{n}=0.
Passo 5
(força da prova via \varepsilon-definição, para quem gosta de rigor) Seja \varepsilon>0. Escolhendo N\in\mathbb{N} tal que N>\dfrac{1}{\varepsilon} (por exemplo N=\left\lceil\dfrac{1}{\varepsilon}\right\rceil), para todo n\ge N temos \dfrac{1}{n}\le \dfrac{1}{N}<\varepsilon. Como |\sin(n x)|\le 1, segue
Isso mostra diretamente, pela definição \varepsilon-N, que \lim_{n\to\infty}x_{n}=0.
Passo 6
Alguns comentários intuitivos e exemplos rápidos para fixar a ideia: se x=0 então \sin(n x)=0 para todo n e a sequência é identicamente zero. Se x=\pi/2 então \sin(n\pi/2) oscila entre -1,0,1, mas a divisão por n faz esses termos oscilar para valores cada vez menores, aproximando-se de 0. Em todos os casos com x real fixo, o denominador n domina e manda a fração para 0.