Determine o limite:
lim x +infty raiz7 x^6+5 x^4+7x^4+2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite:
lim x +infty raiz7 x^6+5 x^4+7x^4+2
Vamos usar conceitos de limites no infinito e análise dos termos de maior grau para simplificar a expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para os termos que mais “pesam” quando $ x $ fica muito grande. No numerador, dentro da raiz quadrada, o termo de maior grau é $ 7x^{6} $. No denominador, o termo dominante é $ x^{4} $. Isso porque, conforme $ x $ cresce, os termos com maiores potências de $ x $ tendem a dominar a expressão.

Passo 3

Agora, vamos simplificar o numerador e o denominador dividindo cada um pelo termo de maior grau identificado:
  • No numerador: $ \sqrt{7x^{6} + 5x^{4} + 7} $
    Vamos fatorar $ x^{6} $ de dentro da raiz:
    raiz7x^6 + 5x^4 + 7
  • No denominador: $ x^{4} + 2 $
    Podemos fatorar $ x^{4} $:
    x^6

Passo 4

Substituindo essas fatorações na expressão original, temos:
x^3 raiz7 (1 + 57x^-2 + 1x^6)x^4 (1 + 2x^4) = raiz7 (1 + 57x^-2 + 1x^6)^1/2x (1 + 2x^4)

Passo 5

Agora, vamos analisar o comportamento dessa expressão quando $ x $ tende ao infinito:
  • Os termos $ \frac{5}{7}x^{-2} $, $ \frac{1}{x^{6}} $ e $ \frac{2}{x^{4}} $ vão para zero.
  • Então, a expressão simplifica para:
x

Resposta

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