Determine o limite:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite:
Vamos usar conceitos de limites no infinito e análise dos termos de maior grau para simplificar a expressão.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para os termos que mais “pesam” quando $ x $ fica muito grande. No numerador, dentro da raiz quadrada, o termo de maior grau é $ 7x^{6} $. No denominador, o termo dominante é $ x^{4} $. Isso porque, conforme $ x $ cresce, os termos com maiores potências de $ x $ tendem a dominar a expressão.
Passo 3
Agora, vamos simplificar o numerador e o denominador dividindo cada um pelo termo de maior grau identificado:
-
No numerador: $ \sqrt{7x^{6} + 5x^{4} + 7} $Vamos fatorar $ x^{6} $ de dentro da raiz:
-
No denominador: $ x^{4} + 2 $Podemos fatorar $ x^{4} $:
Passo 4
Substituindo essas fatorações na expressão original, temos:
Passo 5
Agora, vamos analisar o comportamento dessa expressão quando $ x $ tende ao infinito:
- Os termos $ \frac{5}{7}x^{-2} $, $ \frac{1}{x^{6}} $ e $ \frac{2}{x^{4}} $ vão para zero.
- Então, a expressão simplifica para: