Quais dos seguintes limites são infinitos:
Escolha uma ou mais:
Escolha uma ou mais:
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada na questão que você mandou. A gente precisa determinar se o limite abaixo é infinito quando $ x $ se aproxima de 2 pela esquerda:
Aqui, estamos trabalhando com limites de funções racionais, ou seja, frações onde o numerador e o denominador são polinômios. Vamos precisar simplificar a expressão e analisar o comportamento dela perto de $ x = 2 $.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão. Olha só o denominador:
Isso é um trinomio quadrado perfeito, que pode ser fatorado como:
Então, a expressão original fica assim:
Passo 3
Agora, vamos simplificar ainda mais. O numerador também pode ser fatorado:
Então, substituindo na fração, temos:
Passo 4
Perceba que temos $ (x - 2) $ no numerador e $ (x - 2)^2 $ no denominador. Podemos simplificar cancelando um $ (x - 2) $:
Passo 5
Agora, o limite que precisamos calcular é:
Vamos analisar o que acontece quando $ x $ se aproxima de 2 pela esquerda ($ 2^- $).
Passo 6
Quando $ x $ se aproxima de 2 pela esquerda, $ x $ fica um pouquinho menor que 2, tipo 1.9, 1.99, etc. Vamos ver o comportamento do numerador e do denominador:
- Numerador ($ x $): Aproxima-se de 2.
- Denominador ($ x - 2 $): Aproxima-se de 0, mas vindo de valores negativos (porque $ x $ é menor que 2).
Passo 7
Então, a fração $ \frac{x}{x - 2} $ fica assim:
- Numerador: Aproxima-se de 2.
- Denominador: Aproxima-se de 0, vindo de valores negativos.
Quando dividimos um número positivo por um número que está se aproximando de zero negativo, o resultado vai se tornar muito grande negativamente. Ou seja, a fração vai para menos infinito.
Resposta
O limite é infinito negativo, ou seja: