Quais dos seguintes limites são infinitos:
Escolha uma ou mais:
lim x 2- x^2-2 xx^2-4 x+4

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada na questão que você mandou. A gente precisa determinar se o limite abaixo é infinito quando $ x $ se aproxima de 2 pela esquerda:
x
Aqui, estamos trabalhando com limites de funções racionais, ou seja, frações onde o numerador e o denominador são polinômios. Vamos precisar simplificar a expressão e analisar o comportamento dela perto de $ x = 2 $.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão. Olha só o denominador:
x^2 - 4x + 4
Isso é um trinomio quadrado perfeito, que pode ser fatorado como:
(x - 2)^2
Então, a expressão original fica assim:
x^2-2x(x - 2)^2

Passo 3

Agora, vamos simplificar ainda mais. O numerador também pode ser fatorado:
x^2 - 2x = x(x - 2)
Então, substituindo na fração, temos:
x(x - 2)(x - 2)^2

Passo 4

Perceba que temos $ (x - 2) $ no numerador e $ (x - 2)^2 $ no denominador. Podemos simplificar cancelando um $ (x - 2) $:
(x - 2)

Passo 5

Agora, o limite que precisamos calcular é:
lim x 2^- xx - 2
Vamos analisar o que acontece quando $ x $ se aproxima de 2 pela esquerda ($ 2^- $).

Passo 6

Quando $ x $ se aproxima de 2 pela esquerda, $ x $ fica um pouquinho menor que 2, tipo 1.9, 1.99, etc. Vamos ver o comportamento do numerador e do denominador:
  • Numerador ($ x $): Aproxima-se de 2.
  • Denominador ($ x - 2 $): Aproxima-se de 0, mas vindo de valores negativos (porque $ x $ é menor que 2).

Passo 7

Então, a fração $ \frac{x}{x - 2} $ fica assim:
  • Numerador: Aproxima-se de 2.
  • Denominador: Aproxima-se de 0, vindo de valores negativos.
Quando dividimos um número positivo por um número que está se aproximando de zero negativo, o resultado vai se tornar muito grande negativamente. Ou seja, a fração vai para menos infinito.

Resposta

O limite é infinito negativo, ou seja:
lim x 2^- x^2-2xx^2-4x+4 = -infty

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