Um grupo de pesquisadores deseja relacionar o IMC (índice de massa corporal) com a expectativa de vida média de um adulto do sexo masculino. O IMC é calculado usando-se a seguinte fórmula I M C=Mh^2, onde M é a massa da pessoa em kg, e h é a altura em metros. Após algumas tentativas, a melhor solução encontrada foi a relação de risco cardíaco com o IMC, pela fórmula R=a e^k I, onde R é o risco, I é IMC, a e k são constantes. Sabendo que para um I M C=22,5 temos R=0,25 e para I M C=42,5 temos R=0,5 determine:
Se o modelo estiver correto, qual o valor do IMC para um risco 1, que é equivalente a 100 % de chance de morte devido a complicações provocadas pela obesidade.

Passo 1

O exercício propõe relacionar o IMC com o risco cardíaco por meio do modelo exponencial R = a e^kI, onde temos os pontos (I1=22,5, R1=0,25) e (I2=42,5, R2=0,5). Precisamos determinar as constantes a e k para, em seguida, achar o valor de I quando R=1. Esse conteúdo envolve modelagem exponencial e inversão de funções.

Passo 2

Para encontrar k, dividimos a segunda equação pela primeira e eliminamos a:
R2R1 = a e^k I2a e^k I1 = e^k(I2 - I1)
Substituindo valores:
0,50,25 = e^k(42,5 - 22,5)
2 = e^20k implies k = ln 220

Passo 3

Agora determinamos a usando R1 = 0,25 = a e^k cdot 22,5:
a = 0,25 ;e^-22,5,k

Passo 4

Por fim, para R=1 temos:
1 = a e^kI implies e^kI = 1a implies kI = ln l(tfrac1ar) implies I = ln(1/a)k
Como ln(1/a) = ln 4 + 22,5,k = 2ln 2 + 22,5ln 220 = 3,125ln 2 e k=ln 220, vem
I = 3,125ln 2(ln 2)/20 = 3,125 times 20 = 62,5

Resposta

62,5

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