Localize todos os máximos e mínimos absolutos, se houver, por inspeção. Então verifique sua resposta usando cálculo.
b) f(x, y)=e^x y

Passo 1

O enunciado pede para encontrar, por inspeção e depois por cálculo, os máximos e mínimos absolutos da função f(x,y)=e^{xy}. O conteúdo envolve análise de comportamento global de funções de duas variáveis e aplicação de cálculo multivariável (gradiente e Hessiana).

Passo 2

Pela inspeção de limites, notamos que quando xy→+∞, temos f(x,y)=e^{xy}→+∞, então não há valor máximo finito. Por outro lado, quando xy→−∞, f(x,y)→0+, mas nunca atinge 0, logo não há mínimo absoluto. Portanto, por inspeção concluímos que não existem máximos nem mínimos absolutos.

Passo 3

Para confirmar por cálculo, computamos o gradiente: nabla f=(partial f/partial x,,partial f/partial y)=(y e^xy,,x e^xy). Igualando a zero, obtém-se o único ponto crítico (0,0).

Passo 4

Analisamos a Hessiana em (0,0). As segundas derivadas são: fxx=y^2 e^xy, fyy=x^2 e^xy e fxy=e^xy(1+xy). Em (0,0) isso fornece a matriz H=0 &11 &0 cuja determinante é −1<0, caracterizando ponto de sela.

Passo 5

Como o único ponto crítico é sela e o comportamento global já mostra ausência de extremos, confirmamos que não há máximos nem mínimos absolutos.

Resposta

A função não possui máximos ou mínimos absolutos em R^2.

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