Localize todos os máximos e mínimos absolutos, se houver, por inspeção. Então verifique sua resposta usando cálculo.
b)
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Passo 1
O enunciado pede para encontrar, por inspeção e depois por cálculo, os máximos e mínimos absolutos da função f(x,y)=e^{xy}. O conteúdo envolve análise de comportamento global de funções de duas variáveis e aplicação de cálculo multivariável (gradiente e Hessiana).
Passo 2
Pela inspeção de limites, notamos que quando xy→+∞, temos f(x,y)=e^{xy}→+∞, então não há valor máximo finito. Por outro lado, quando xy→−∞, f(x,y)→0+, mas nunca atinge 0, logo não há mínimo absoluto. Portanto, por inspeção concluímos que não existem máximos nem mínimos absolutos.
Passo 3
Para confirmar por cálculo, computamos o gradiente:
. Igualando a zero, obtém-se o único ponto crítico (0,0).
Passo 4
Analisamos a Hessiana em (0,0). As segundas derivadas são:
,
e
. Em (0,0) isso fornece a matriz
cuja determinante é −1<0, caracterizando ponto de sela.
Passo 5
Como o único ponto crítico é sela e o comportamento global já mostra ausência de extremos, confirmamos que não há máximos nem mínimos absolutos.
Resposta
A função não possui máximos ou mínimos absolutos em
.