Se existe o , então ? Justifique sua resposta. Para justificar, use como exemplo a função .
Passo 1
A questão pergunta se o simples fato de existir limxto af(x) já garante que esse limite seja igual a f(a). O conteúdo envolvido é definição de limite e continuidade de funções, e vamos precisar usar a ideia de limite lateral e a definição de continuidade (que exige limxto af(x)=f(a)).
Passo 2
Para ilustrar, vamos trabalhar com a função
f(x)= x^2 & se x<2 0 & se x=2 x+2 & se x>2
Passo 3
Primeiro, calculamos o limite pela esquerda em x=2. Como x<2 usamos f(x)=x^2, então
limxto2^-f(x)=limxto2^-x^2=2^2=4
Passo 4
Em seguida, calculamos o limite pela direita em x=2. Como x>2 usamos f(x)=x+2, logo
limxto2^+f(x)=limxto2^+(x+2)=2+2=4
Passo 5
Como os limites laterais são iguais (os dois valem 4), o limite limxto2f(x) existe e é igual a 4.
Porém, pelo enunciado da função, f(2)=0. Ou seja,
f(2)=0neq4=limxto2f(x)
Passo 6
Isso mostra que, mesmo existindo limxto af(x), não é garantido que f(a) seja igual a esse limite: essa igualdade é exatamente a definição de continuidade em a, que é uma condição extra (verificar valor em a coincide com o limite).
Resposta
Não. A existência de limxto af(x) não implica em continuidade em a. No exemplo dado, limxto2f(x)=4 existe, mas f(2)=0, então limxto2f(x)neq f(2).