Determine o limite ou mostre que não existe:
lim (x, y) (0,0,1)(x^2x^2+3 y^2, 2 z, 2 x y)

Passo 1

O enunciado pede o limite da função vetorial
f(x,y,z) = l(x^2x^2+3y^2,,2z,,2xyr)
quando (x,y,z)to(0,0,1). Vamos analisar separadamente cada componente.

Passo 2

Para a segunda componente, que é 2z, basta substituir zto1:
lim(x,y,z)to(0,0,1)2z = 2cdot1 = 2

Passo 3

Para a terceira componente, que é 2xy, ao fazermos (x,y)to(0,0) temos
lim(x,y,z)to(0,0,1)2xy = 2cdot0cdot0 = 0

Passo 4

Para a primeira componente,
g(x,y) = x^2x^2+3y^2,
precisamos ver se o limite existe quando (x,y)to(0,0).
  • Se tomarmos a reta y=0, então
g(x,0)=x^2x^2+0 = 1
  • Se tomarmos a reta y=x, então
g(x,x)=x^2x^2+3x^2 = 14
Como lim g(x,0)=1neq14=lim g(x,x), não há valor único para lim(x,y)to(0,0)g(x,y). Portanto essa componente não tem limite.

Resposta

O limite não existe, pois a primeira componente não tende a um valor único.

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