Determine o limite pedido ou informe que o limite não existe. Se o limite for infinito, indique se é +\infty ou -\infty.
\lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{x^{4}+3 x^{2}-2 x+7}{x^{3}+x+1}

Passo 1

O enunciado pede: calcular o limite
\lim_{x\to -\infty}\frac{x^{4}+3x^{2}-2x+7}{x^{3}+x+1}.
As informações dadas são apenas os polinômios no numerador e no denominador:
  • Numerador: x^{4}+3x^{2}-2x+7.
  • Denominador: x^{3}+x+1.
    Queremos saber o comportamento da razão quando x tende a -\infty: se o limite existe finito, se diverge para +\infty ou para -\infty, ou se não existe.

Passo 2

Ideia principal (explicação didática): quando x fica com módulo muito grande, os termos de maior grau dominam o valor dos polinômios. Aqui o numerador tem grau 4 e o denominador grau 3. Em termos práticos, a razão deve comportar-se como \dfrac{\text{termo líder do numerador}}{\text{termo líder do denominador}}=\dfrac{x^{4}}{x^{3}}=xíí para |x| grande. Como estamos indo para x\to -\infty, isso sugere que a razão tende a -\infty. Vou mostrar isso de forma algébrica e rigorosa usando uma manipulação que anula os termos de menor ordem.
Observação técnica útil: para k>0, tem-se \dfrac{1}{x^{k}}\to 0 quando x\to\pm\infty. Vou usar isso ao dividir por uma potência de x.

Passo 3

Fatoramos x^{3} (a maior potência presente no denominador) tanto no numerador quanto no denominador para simplificar a expressão. Começando pela função:
\frac{x^{4}+3x^{2}-2x+7}{x^{3}+x+1} = \frac{x^{3}\!\left(x+\dfrac{3}{x}-\dfrac{2}{x^{2}}+\dfrac{7}{x^{3}}\right)}{x^{3}\!\left(1+\dfrac{1}{x^{2}}+\dfrac{1}{x^{3}}\right)}.
Cancelando o fator comum x^{3} (válido para x\neq 0, e o comportamento para x\to -\infty fica preservado), obtemos:
\frac{x^{4}+3x^{2}-2x+7}{x^{3}+x+1} = \frac{x+\dfrac{3}{x}-\dfrac{2}{x^{2}}+\dfrac{7}{x^{3}}}{1+\dfrac{1}{x^{2}}+\dfrac{1}{x^{3}}}.

Passo 4

Agora analisamos o limite termo a termo. Quando x\to -\infty temos
\dfrac{3}{x}\to 0,\qquad \dfrac{2}{x^{2}}\to 0,\qquad \dfrac{7}{x^{3}}\to 0,\qquad \dfrac{1}{x^{2}}\to 0,\qquad \dfrac{1}{x^{3}}\to 0.
Portanto o numerador da fração simplificada tende para x+0-0+0 = x e o denominador tende para 1+0+0=1. Assim
\lim_{x\to -\infty}\frac{x+\dfrac{3}{x}-\dfrac{2}{x^{2}}+\dfrac{7}{x^{3}}}{1+\dfrac{1}{x^{2}}+\dfrac{1}{x^{3}}} = \lim_{x\to -\infty}\frac{x+o(1)}{1+o(1)}.
Como o denominador tende para 1 (não nulo), o comportamento do quociente é o mesmo do comportamento do numerador: tende para \lim_{x\to -\infty} x, que é -\infty.
(" o(1) " significa termos que vão para 0 quando x\to -\infty.)

Passo 5

Interpretação pelo grau dos polinômios (resumo prático): como o grau do numerador ( 4) é maior que o grau do denominador ( 3), o limite em \pm\infty é infinito em módulo. O comportamento assintótico é dado por \dfrac{x^{4}}{x^{3}}=x. Para x\to -\infty isso dá -\infty. Isso confirma o cálculo algébrico anterior.
Conclusão final e incentivo: o limite diverge para -\infty. Boa! Você já aprendeu a reconhecer rapidamente esses casos por grau dos polinômios e também a manipular dividindo/fatorando para justificar rigorosamente — técnica que é muito útil na prova.

Resposta

-\infty

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