Determine o limite pedido ou informe que o limite não existe. Se o limite for infinito, indique se é
ou
.
Passo 1
O enunciado pede: calcular o limite
As informações dadas são apenas os polinômios no numerador e no denominador:
- Numerador:
. - Denominador:
.
Queremos saber o comportamento da razão quandotende a : se o limite existe finito, se diverge para ou para , ou se não existe.
Passo 2
Ideia principal (explicação didática): quando
fica com módulo muito grande, os termos de maior grau dominam o valor dos polinômios. Aqui o numerador tem grau
e o denominador grau
. Em termos práticos, a razão deve comportar-se como
para
grande. Como estamos indo para
, isso sugere que a razão tende a
. Vou mostrar isso de forma algébrica e rigorosa usando uma manipulação que anula os termos de menor ordem.
Observação técnica útil: para
, tem-se
quando
. Vou usar isso ao dividir por uma potência de
.
Passo 3
Fatoramos
(a maior potência presente no denominador) tanto no numerador quanto no denominador para simplificar a expressão. Começando pela função:
Cancelando o fator comum
(válido para
, e o comportamento para
fica preservado), obtemos:
Passo 4
Agora analisamos o limite termo a termo. Quando
temos
Portanto o numerador da fração simplificada tende para
e o denominador tende para
. Assim
Como o denominador tende para
(não nulo), o comportamento do quociente é o mesmo do comportamento do numerador: tende para
, que é
.
("
" significa termos que vão para
quando
.)
Passo 5
Interpretação pelo grau dos polinômios (resumo prático): como o grau do numerador (
) é maior que o grau do denominador (
), o limite em
é infinito em módulo. O comportamento assintótico é dado por
. Para
isso dá
. Isso confirma o cálculo algébrico anterior.
Conclusão final e incentivo: o limite diverge para . Boa! Você já aprendeu a reconhecer rapidamente esses casos por grau dos polinômios e também a manipular dividindo/fatorando para justificar rigorosamente — técnica que é muito útil na prova.
Conclusão final e incentivo: o limite diverge para