Determine o conjunto imagem de
f(x, y, z)=5 e^wed>=(-x2-y2)+6 cos (z)+5
Escolha uma opção:
a.
[-1,11]
b.
[10,16]
c.
[5,12]
d.
(-1,16]
e.
(4,16]

Passo 1

Vamos resolver um exercício de função para encontrar o conjunto imagem de $ f(x, y, z) = 5 e{-x2 - y^2} + 6 \cos(z) + 5 $. Vamos precisar entender os conceitos de funções exponenciais e cosseno, além de saber como determinar os intervalos de valores que cada parte da função pode assumir.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a parte $ 5 e{-x2 - y^2} $. A função exponencial $ e{-x2 - y^2} $ sempre é positiva porque o expoente é negativo, tornando o valor de $ e $ elevado a qualquer número real positivo. O menor valor ocorre quando $ x $ e $ y $ tendem ao infinito, fazendo $ e{-x2 - y^2} $ se aproximar de 0. O maior valor ocorre quando $ x = 0 $ e $ y = 0 $, então $ e^{0} = 1 $. Assim, $ e{-x2 - y^2} $ está no intervalo $ (0, 1] $. Multiplicando por 5, temos:
5 e^-x^2 - y^2

Passo 3

Agora, vamos analisar a parte $ 6 \cos(z) $. A função cosseno $ \cos(z) $ varia entre -1 e 1. Multiplicando por 6, obtemos:
6 cos(z)

Passo 4

Por último, temos o termo constante $ +5 $.

Passo 5

Para encontrar o conjunto imagem da função completa, somamos os intervalos obtidos:
(0, 5] + [-6, 6] + 5
Isso significa que o menor valor possível é $ 0 - 6 + 5 = -1 $ e o maior valor é $ 5 + 6 + 5 = 16 $. Portanto, o conjunto imagem é:
0 - 6 + 5 = -1

Resposta

d. $ (-1,16] $

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