a) Faça o gráfico de
f(x)= \begin{cases}x^{3} & , x \neq 1 \\\\ 0 & , x=1 .\end{cases}
b) Determine \lim _{x \rightarrow 1^{+}} f(x) e \lim _{x \rightarrow 1^{-}} f(x).
c) Existe \lim _{x \rightarrow 1} f(x) ? Em caso afirmativo, qual é? Em caso negativo, por que não?

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)= \begin{cases}x^{3} & , x \neq 1 \\[4pt] 0 & , x=1 \end{cases}
e pede três coisas:
  • (a) Fazer o gráfico de f.
  • (b) Determinar \lim_{x\to 1^{+}} f(x) e \lim_{x\to 1^{-}} f(x).
  • (c) Dizer se existe \lim_{x\to 1} f(x). Se existir, qual é; se não existir, justificar por quê.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • Para todo x diferente de 1, f(x)=x^{3}.
  • Em x=1, a função foi definida de forma diferente: f(1)=0.]

Passo 2

Gráfico: entender o que fazer antes de desenhar.
  • A curva y=x^{3} é a curva cúbica clássica: ela passa pela origem (0,0), é estritamente crescente em toda a reta, tem ponto (1,1) no ramo, e é suave (sem quebras).
  • No entanto, a função f não toma o valor 1 em x=1; foi definido f(1)=0. Então no gráfico devemos representar:
    • a curva y=x^{3} para todos os x, mas com um ponto removido (um círculo aberto) em (1,1) porque em x=1 a regra x^{3} não é aplicada;
    • um ponto preenchido em (1,0) representando f(1)=0.
  • Resumindo a instrução de desenho: esboçar a cúbica y=x^{3}, marcar um círculo aberto em (1,1) e um ponto cheio em (1,0).

Passo 3

Ideia de cálculo do limite: propriedade de polinômios.
  • Polinômios são funções contínuas em todos os reais; isso significa que, para uma função polinomial p(x), vale \lim_{x\to a} p(x)=p(a).
  • Aqui, a regra fora de x=1 é x^{3}, que é um polinômio. Logo, intuitivamente, se aproximarmos x de 1 pela direita (ou pela esquerda), os valores x^{3} devem aproximar 1^{3}=1.
  • Vamos calcular explicitamente as limites laterais usando essa ideia.

Passo 4

Cálculo de \lim_{x\to 1^{+}} f(x).
  • Para x>1 (à direita de 1), temos f(x)=x^{3}.
  • Como a função x\mapsto x^{3} é contínua em x=1, pode-se aplicar a substituição direta: \lim_{x\to 1^{+}} f(x)=\lim_{x\to 1^{+}} x^{3}=1^{3}=1.
  • Intuição: ao aproximar x de 1 vindo da direita, x^{3} se aproxima de 1.

Passo 5

Cálculo de \lim_{x\to 1^{-}} f(x).
  • Para x<1 (à esquerda de 1), também vale f(x)=x^{3}.
  • Pela mesma propriedade de continuidade do polinômio, \lim_{x\to 1^{-}} f(x)=\lim_{x\to 1^{-}} x^{3}=1^{3}=1.
  • Intuição: ao aproximar x de 1 vindo da esquerda, x^{3} também se aproxima de 1.

Passo 6

(Se quiser uma justificativa um pouco mais “vareta e reta” tipo \varepsilon- \delta para a afirmação \lim_{x\to 1} x^{3}=1.)
  • Para mostrar \lim_{x\to 1} x^{3}=1 por desigualdade, observe |x^{3}-1|=|x-1|\,|x^{2}+x+1|.
  • Se restringirmos à vizinhança |x-1|<1, então |x|<2 e assim |x^{2}+x+1|\le 4+2+1=7.
  • Portanto, para |x-1|<1 vale |x^{3}-1|\le 7|x-1|. Dado \varepsilon>0, basta escolher \delta=\min\{1,\varepsilon/7\} para garantir |x^{3}-1|<\varepsilon sempre que 0<|x-1|<\delta. Isso prova formalmente que \lim_{x\to 1} x^{3}=1.

Passo 7

Conclusão sobre a existência do limite em x=1 e tipo de descontinuidade.
  • Já que \lim_{x\to 1^{+}} f(x)=1 e \lim_{x\to 1^{-}} f(x)=1, os limites laterais são iguais. Logo o limite bilateral existe e \lim_{x\to 1} f(x)=1.
  • Porém f(1)=0. Como o valor da função em 1 não coincide com o limite, a função não é contínua em x=1.
  • Tipo de descontinuidade: é uma descontinuidade removível — porque redefinindo f(1)=1 (ou seja, preenchendo o buraco em (1,1)) a função ficaria contínua em x=1.

Resposta

(a) Gráfico: a curva y=x^{3} para todo x, com um círculo aberto em (1,1) (porque em x=1 a regra x^{3} não vale) e um ponto cheio em (1,0) (porque f(1)=0).
(b) \lim_{x\to 1^{+}} f(x)=1 \quad e \quad \lim_{x\to 1^{-}} f(x)=1.
(c) Sim. \lim_{x\to 1} f(x)=1. (Contudo f(1)=0\ne1, logo há descontinuidade removível em x=1.)

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