A função efetivamente depende apenas da variável x (o y aparece no rótulo, mas a regra depende só de x).
Para x\neq 1 vale f(x)=x^{2}.
Em x=1 a função foi definida como f(1)=0, diferente de 1^{2}=1.
O que se pede é o limite quando x se aproxima de 1; isso significa que devemos analisar os valores f(x) para x próximos de 1, com x\neq 1.]
Passo 2
Lembrete do conceito que vou usar (definição \varepsilon-\delta de limite): provar que \lim_{x\to 1} f(x)=1 significa mostrar que, para todo \varepsilon>0, existe \delta>0 tal que, sempre que 0<|x-1|<\delta, então |f(x)-1|<\varepsilon.
Explicando as quantidades:
\varepsilon>0 é o quão perto eu quero que f(x) esteja do valor 1.
\delta>0 é o quão perto eu preciso escolher x de 1 para garantir essa proximidade.
A condição 0<|x-1|<\delta exclui x=1 (pois limite usa pontos diferentes do ponto de interesse) e exige que x esteja dentro de um intervalo aberto ao redor de 1.
Passo 3
Como f(x)=x^{2} para x\neq 1, para esses x temos
|f(x)-1|=|x^{2}-1|.
Fatorando a diferença de quadrados:
|x^{2}-1|=|x-1|\,|x+1|.
O objetivo é controlar |x^{2}-1| por algo proporcional a |x-1|. Para isso precisamos dar um limite superior para |x+1| quando x estiver suficientemente perto de 1.
Escolhe-se convenientemente um \delta pequeno, por exemplo \delta\le 1. Se 0<|x-1|<\delta\le 1, então x está no intervalo (0,2), logo
|x+1|\le 3.
Portanto, sob a hipótese 0<|x-1|<\delta\le 1, obtemos
|x^{2}-1|=|x-1|\,|x+1|\le 3|x-1|.
Passo 4
Agora usamos a desigualdade obtida para escolher \delta em função de \varepsilon. Queremos |x^{2}-1|<\varepsilon. A desigualdade anterior garante que basta ter 3|x-1|<\varepsilon, isto é |x-1|<\varepsilon/3.
Isso prova que para todo \varepsilon>0 existe \delta>0 (o escolhido) com a propriedade pedida. Logo, pela definição \varepsilon-\delta, temos \lim_{x\to 1} f(x)=1.