Prove as afirmações de limite:
\lim _{x \rightarrow 1} f(x)=1 \quad se \quad f(x, y)=\left\{\begin{array}{cl}x^{2} & , x \neq 1 \\\\ 0 & , x=1\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede que se prove que
\lim_{x\to 1} f(x)=1,
onde a função é dada por
f(x,y)=\begin{cases} x^{2}, & x\neq 1,\\[4pt] 0, & x=1. \end{cases}
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A função efetivamente depende apenas da variável x (o y aparece no rótulo, mas a regra depende só de x).
  • Para x\neq 1 vale f(x)=x^{2}.
  • Em x=1 a função foi definida como f(1)=0, diferente de 1^{2}=1.
  • O que se pede é o limite quando x se aproxima de 1; isso significa que devemos analisar os valores f(x) para x próximos de 1, com x\neq 1.]

Passo 2

Lembrete do conceito que vou usar (definição \varepsilon- \delta de limite): provar que \lim_{x\to 1} f(x)=1 significa mostrar que, para todo \varepsilon>0, existe \delta>0 tal que, sempre que 0<|x-1|<\delta, então |f(x)-1|<\varepsilon.
Explicando as quantidades:
  • \varepsilon>0 é o quão perto eu quero que f(x) esteja do valor 1.
  • \delta>0 é o quão perto eu preciso escolher x de 1 para garantir essa proximidade.
  • A condição 0<|x-1|<\delta exclui x=1 (pois limite usa pontos diferentes do ponto de interesse) e exige que x esteja dentro de um intervalo aberto ao redor de 1.

Passo 3

Como f(x)=x^{2} para x\neq 1, para esses x temos
|f(x)-1|=|x^{2}-1|.
Fatorando a diferença de quadrados:
|x^{2}-1|=|x-1|\,|x+1|.
O objetivo é controlar |x^{2}-1| por algo proporcional a |x-1|. Para isso precisamos dar um limite superior para |x+1| quando x estiver suficientemente perto de 1.
Escolhe-se convenientemente um \delta pequeno, por exemplo \delta\le 1. Se 0<|x-1|<\delta\le 1, então x está no intervalo (0,2), logo
|x+1|\le 3.
Portanto, sob a hipótese 0<|x-1|<\delta\le 1, obtemos
|x^{2}-1|=|x-1|\,|x+1|\le 3|x-1|.

Passo 4

Agora usamos a desigualdade obtida para escolher \delta em função de \varepsilon. Queremos |x^{2}-1|<\varepsilon. A desigualdade anterior garante que basta ter 3|x-1|<\varepsilon, isto é |x-1|<\varepsilon/3.
Portanto, uma escolha que funciona é
\delta=\min\left\{1,\frac{\varepsilon}{3}\right\}.
Verificação formal: seja qualquer \varepsilon>0. Tomando \delta como acima, se 0<|x-1|<\delta então, primeiro, \delta\le 1 implica |x+1|\le 3 e assim
|f(x)-1|=|x^{2}-1|\le 3|x-1|<3\delta\le 3\cdot\frac{\varepsilon}{3}=\varepsilon.
Isso prova que para todo \varepsilon>0 existe \delta>0 (o escolhido) com a propriedade pedida. Logo, pela definição \varepsilon- \delta, temos \lim_{x\to 1} f(x)=1.

Resposta

1

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