Determine se x = 0 é um ponto ordinário ou um ponto singular regular da equação diferencial y'' - x y' - x^2 y = 0. Use o método de solução em série apropriado para obter duas soluções em série linearmente independentes da equação em torno de x = 0.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos a equação diferencial e queremos saber se é um ponto ordinário ou um ponto singular regular. Além disso, vamos usar o método de solução em série para encontrar duas soluções linearmente independentes dessa equação ao redor de .

Passo 2

Para determinar se é um ponto ordinário ou singular, analisamos a equação diferencial na forma padrão:
Aqui, e . Um ponto é ordinário se e são analíticos em . Caso contrário, é um ponto singular. Além disso, se e são analíticos em , então é um ponto singular regular.
No nosso caso, :
Ambos são polinômios, portanto, analíticos em . Assim, é um ponto ordinário.

Passo 3

Como é um ponto ordinário, podemos aplicar o método de séries de potências para encontrar soluções da forma:
Vamos substituir essa série na equação diferencial e determinar os coeficientes de maneira que a equação seja satisfeita para todos os .

Passo 4

Primeiro, calculamos as derivadas de :
Substituindo na equação diferencial:
Vamos reindexar os somatórios para igualar as potências de :
Igualando os coeficientes de cada potência de a zero, obtemos a relação de recorrência:
Para :
Para :
E assim por diante. Observamos que os coeficientes de ordem par e ímpar formam sequências independentes.

Passo 5

Podemos construir duas soluções independentes tomando e como parâmetros livres:
  1. Primeira solução ( ):
    Apenas os termos pares são não nulos. Começamos com arbitrário, e todos os serão determinados a partir da relação de recorrência. Isso nos dá uma solução mesmo.
  2. Segunda solução ( ):
    Aqui, começamos com arbitrário, e os coeficientes ímpares são determinados pela recorrência. Isso fornece uma segunda solução independente da primeira.

Resposta

As duas soluções linearmente independentes da equação diferencial em série ao redor de são:
onde os coeficientes e são determinados pela relação de recorrência .

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