Determine o limite das seguintes sequências, justificando se convergem ou divergem:
(b) a_{n}=\frac{(-1)^{n}}{n}

Passo 1

O enunciado pede o limite da sequência
a_{n} = \frac{(-1)^{n}}{n}
quando n\to\infty. O conteúdo aqui é limite de sequência numérica: vamos usar o fato de que, se os termos em valor absoluto tendem a zero, então a sequência converge para zero (ou usar o teorema do confronto).

Passo 2

Note que \lvert(-1)^{n}\rvert=1 para todo n. Logo,
\lvert a_{n}\rvert = \left\lvert\frac{(-1)^{n}}{n}\right\rvert = \frac{1}{n}.
Sabemos que
\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0.

Passo 3

Como \lvert a_{n}\rvert\to0, temos a_{n}\to0. Alternativamente, pelo teorema do confronto:
-\,\frac{1}{n}\le a_{n}\le\frac{1}{n},
e ambos os extremos tendem a zero, implicando \lim_{n\to\infty}a_{n}=0.

Resposta

A sequência converge e
\lim_{n\to\infty}a_{n}=0.

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