Determine o limite das seguintes sequências, justificando se convergem ou divergem:
(a) a_{n}=\frac{2 n+1}{3 n+2}

Passo 1

O enunciado pede o limite da sequência
a_{n} = \frac{2n+1}{3n+2}
quando n\to\infty. O conteúdo aqui é limite de sequência racional, e vamos usar a regra de dividir numerador e denominador pelo maior termo em n.

Passo 2

Reescrevemos a_{n} dividindo numerador e denominador por n:
a_{n} = \frac{2n+1}{3n+2} = \frac{n\bigl(2 + \tfrac{1}{n}\bigr)}{n\bigl(3 + \tfrac{2}{n}\bigr)} = \frac{2 + \tfrac{1}{n}}{3 + \tfrac{2}{n}}.

Passo 3

Ao fazermos n\to\infty, temos \tfrac{1}{n}\to 0 e \tfrac{2}{n}\to 0. Então, pelas propriedades de limite,
\lim_{n\to\infty}a_{n} = \frac{2 + 0}{3 + 0} = \frac{2}{3}.

Passo 4

Como o limite existe e é finito, concluímos que a sequência converge.

Resposta

A sequência converge e
\lim_{n\to\infty}a_{n} = \frac{2}{3}.

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