Determine o limite das seguintes sequências, justificando se convergem ou divergem:
a_{n}=\sqrt{n^{2}+1}-n
a_{n}=\sqrt{n^{2}+1}-n
Passo 1
O enunciado pede o limite da sequência
quando
. O conteúdo envolve limites de sequência com radicais, e vamos precisar usar a técnica de racionalização para reescrever a expressão de uma forma que permita calcular o limite facilmente.
Passo 2
Racionalizamos a diferença multiplicando numerador e denominador pelo conjugado de
. Assim,
Passo 3
Agora avaliamos
Observe que para todo
vale
logo
Como
, pelo Teorema do Confronto concluímos que
Resposta
portanto a sequência converge para
.