Determine o limite das seguintes sequências, justificando se convergem ou divergem:
a_{n}=\sqrt{n^{2}+1}-n

Passo 1

O enunciado pede o limite da sequência
a_n = \sqrt{n^2 + 1} \;-\; n
quando n \to \infty. O conteúdo envolve limites de sequência com radicais, e vamos precisar usar a técnica de racionalização para reescrever a expressão de uma forma que permita calcular o limite facilmente.

Passo 2

Racionalizamos a diferença multiplicando numerador e denominador pelo conjugado de \sqrt{n^2+1}-n. Assim,
a_n = \sqrt{n^2+1} - n = \frac{(\sqrt{n^2+1} - n)\bigl(\sqrt{n^2+1} + n\bigr)}{\sqrt{n^2+1} + n} = \frac{n^2 + 1 - n^2}{\sqrt{n^2+1} + n} = \frac{1}{\sqrt{n^2+1} + n}.

Passo 3

Agora avaliamos
\lim_{n\to\infty} a_n = \lim_{n\to\infty} \frac{1}{\sqrt{n^2+1} + n}.
Observe que para todo n\ge1 vale
\sqrt{n^2+1} + n \ge n + n = 2n,
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0 < a_n = \frac{1}{\sqrt{n^2+1} + n} \le \frac{1}{2n}.
Como \lim_{n\to\infty} \frac{1}{2n} = 0, pelo Teorema do Confronto concluímos que
\lim_{n\to\infty} a_n = 0.

Resposta

\lim_{n\to\infty} \bigl(\sqrt{n^2+1} - n\bigr) = 0,
portanto a sequência converge para 0.

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