Classifique cada uma das afirmações abaixo como Verdadeira (V) ou Falsa (F), justificando cada uma de suas respostas.
a. () A sequência \left\{a_{n}\right\}=\left(\frac{1}{n}\right) é convergente e tende a zero.
b. A série harmônica \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} é convergente,
c. Se \lim _{n \rightarrow \infty} \alpha_{n}=0, então a série \sum a_{n} converge,
d. A série geométrica \sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{1}{2}\right)^{n} é convergente,
e. Se \sum a_{n} converge absolutamente, então também converge condicionalmente,

Passo 1

O enunciado pede para classificar cinco afirmações sobre convergência de sequência e séries, aplicando conceitos de limite de sequência, critério de p-série, critério da série geométrica, condição necessária para convergência de séries ( \lim a_n=0) e a diferença entre convergência absoluta e condicional.

Passo 2

Afirmação (a): “A sequência \{a_{n}\}=\bigl(\tfrac{1}{n}\bigr) é convergente e tende a zero.”
Para todo \varepsilon>0, basta escolher N>\tfrac{1}{\varepsilon} para ter, se n\ge N,
\Bigl|\tfrac{1}{n}-0\Bigr|=\tfrac{1}{n}\le \tfrac{1}{N}<\varepsilon.
Logo, \lim_{n\to\infty}\tfrac{1}{n}=0 e a sequência converge. Esta afirmação é Verdadeira.

Passo 3

Afirmação (b): “A série harmônica \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n} é convergente.”
Como é uma p-série com p=1, sabe-se pelo teste da integral (ou teste da p-série) que diverge. Em particular,
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n} = \infty.
Portanto, a afirmação é Falsa.

Passo 4

Afirmação (c): “Se \lim_{n\to\infty}\alpha_{n}=0, então a série \sum a_{n} converge.”
O fato de \lim a_{n}=0 é condição necessária, mas não suficiente. Por exemplo, na série harmônica temos 1/n\to0 e mesmo assim \sum1/n diverge. Logo, a afirmação é Falsa.

Passo 5

Afirmação (d): “A série geométrica \sum_{n=0}^{\infty}\bigl(\tfrac{1}{2}\bigr)^{n} é convergente.”
Para uma série geométrica de razão r com |r|<1, vale
\sum_{n=0}^{\infty}r^{n}=\frac{1}{1-r}.
Aqui r=\tfrac12, então a soma é \tfrac{1}{1-\tfrac12}=2. Portanto, é Verdadeira.

Passo 6

Afirmação (e): “Se \sum a_{n} converge absolutamente, então também converge condicionalmente.”
Convergência condicional significa “converge, mas não converge absolutamente”. Se converge absolutamente, converge de modo mais forte e não é convergência condicional. Logo, a afirmação é Falsa.

Resposta

a. V
b. F
c. F
d. V
e. F

Exercícios relacionados