(2 pts) Guilherme deseja enviar uma carta para Emily. A probabilidade de que ele realmente escreva a carta é \frac{8}{10}. A chance de que o correio não a perca é \frac{9}{10}, e a probabilidade de que o carteiro a entregue corretamente é também \frac{9}{10}. Com base nessas informações, resolva o que se pede a seguir:
(a) Construa o diagrama de árvore representando o espaço amostral deste problema.
(b) Calcule a probabilidade de Emily não receber a carta.

Passo 1

O enunciado descreve um experimento com três etapas em cascata:
  1. Guilherme escreve a carta com probabilidade \tfrac{8}{10} (senão não escreve, probabilidade \tfrac{2}{10}).
  2. Se escreveu, o correio não a perde com probabilidade \tfrac{9}{10} (senão perde, \tfrac{1}{10}).
  3. Se não a perdeu, o carteiro a entrega com probabilidade \tfrac{9}{10} (senão não entrega, \tfrac{1}{10}).
    O conteúdo é probabilidade total via diagrama de árvore e soma de probabilidades de ramos.

Passo 2

Diagrama de árvore (em cada ramo está a probabilidade condicional):
Raiz
├─ escreve carta \bigl(\tfrac{8}{10}\bigr)
│ ├─ correio não perde \bigl(\tfrac{9}{10}\bigr)
│ │ ├─ entregue corretamente \bigl(\tfrac{9}{10}\bigr)
│ │ └─ não entregue \bigl(\tfrac{1}{10}\bigr)
│ └─ correio perde \bigl(\tfrac{1}{10}\bigr)
└─ não escreve \bigl(\tfrac{2}{10}\bigr)
Os ramos finais e suas probabilidades são:
\begin{aligned} &P(\text{não escreve}) = \tfrac{2}{10},\\\ &P(\text{escreve \& perde}) = \tfrac{8}{10}\times\tfrac{1}{10} = \tfrac{8}{100},\\\ &P(\text{escreve \& não perde \& não entrega}) = \tfrac{8}{10}\times\tfrac{9}{10}\times\tfrac{1}{10} = \tfrac{72}{1000},\\\ &P(\text{escreve \& não perde \& entrega}) = \tfrac{8}{10}\times\tfrac{9}{10}\times\tfrac{9}{10} = \tfrac{648}{1000}. \end{aligned}ãããã

Passo 3

Emily não recebe a carta nos três primeiros ramos. Logo,
P(\text{não recebe}) = \tfrac{2}{10} + \tfrac{8}{100} + \tfrac{72}{1000} = \tfrac{200}{1000} + \tfrac{80}{1000} + \tfrac{72}{1000} = \tfrac{352}{1000} = \tfrac{44}{125}.ã

Resposta

(a) Diagrama de árvore conforme descrito no Passo 2.
(b) \displaystyle P(\text{Emily não recebe}) = \tfrac{44}{125}.ã

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