Seja z=f\left(x^{2}-y^{2}\right), onde f(u) é uma função diferenciável de uma variável real. Verifique que
y \frac{\partial z}{\partial x}+x \frac{\partial z}{\partial y}=0

Passo 1

O enunciado define z = f\bigl(x^2 - y^2\bigr), com f(u) diferenciável de uma variável real, e pede para verificar que
y\,\frac{\partial z}{\partial x} + x\,\frac{\partial z}{\partial y} = 0.
O conteúdo envolve derivadas parciais e aplicação da regra da cadeia.

Passo 2

Defina a função intermediária
u = x^2 - y^2,
de modo que z = f(u). Pela regra da cadeia, cada derivada parcial de z em relação a x ou y será dada por f'(u) vezes a derivada parcial de u.

Passo 3

Calcule as derivadas parciais de u:
\frac{\partial u}{\partial x} = 2x, \qquad \frac{\partial u}{\partial y} = -2y.

Passo 4

Agora use a regra da cadeia para obter as derivadas de z:
\frac{\partial z}{\partial x} = f'(u)\,\frac{\partial u}{\partial x} = f'\bigl(x^2 - y^2\bigr)\cdot 2x,
\frac{\partial z}{\partial y} = f'(u)\,\frac{\partial u}{\partial y} = f'\bigl(x^2 - y^2\bigr)\cdot (-2y).

Passo 5

Forme a combinação pedida:
y\,\frac{\partial z}{\partial x} + x\,\frac{\partial z}{\partial y} = y\bigl(2x\,f'\bigr) + x\bigl(-2y\,f'\bigr) = 2xy\,f' - 2xy\,f' = 0.

Resposta

y\,\frac{\partial z}{\partial x} + x\,\frac{\partial z}{\partial y} = 0.

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