Seja f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} uma função diferenciável c seja g(x, y)=f(y)+f\left(\frac{x}{y}\right). Verifique que
x \frac{\partial g}{\partial x}+y \frac{\partial g}{\partial y}=y f^{\prime}(y) .

Passo 1

O enunciado define a função
g(x,y)=f(y)+f\!\Bigl(\frac{x}{y}\Bigr)
onde f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R} é diferenciável. Queremos verificar que
x\,\frac{\partial g}{\partial x}+y\,\frac{\partial g}{\partial y}=y\,f'(y).
Para isso vamos calcular separadamente as derivadas parciais de g usando a regra da cadeia.

Passo 2

Cálculo de \displaystyle \frac{\partial g}{\partial x}.
Como a única dependência de x em g vem de f\bigl(x/y\bigr), aplicamos a regra da cadeia:
\frac{\partial g}{\partial x} =\;f'\!\Bigl(\tfrac{x}{y}\Bigr)\;\frac{\partial}{\partial x}\!\Bigl(\tfrac{x}{y}\Bigr) =\;f'\!\Bigl(\tfrac{x}{y}\Bigr)\;\frac{1}{y}.

Passo 3

Cálculo de \displaystyle \frac{\partial g}{\partial y}.
Aqui g depende de y em dois termos: em f(y) e em f(x/y). Logo,
\frac{\partial g}{\partial y} =\;f'(y)\;+\;f'\!\Bigl(\tfrac{x}{y}\Bigr)\;\frac{\partial}{\partial y}\!\Bigl(\tfrac{x}{y}\Bigr).
Como \partial(x/y)/\partial y=-x/y^2, resulta
\frac{\partial g}{\partial y} =f'(y)\;-\;f'\!\Bigl(\tfrac{x}{y}\Bigr)\,\frac{x}{y^2}.

Passo 4

Formamos a combinação x\,\partial g/\partial x + y\,\partial g/\partial y:
x\cdot\frac{\partial g}{\partial x} = x\;\frac{f'\bigl(\frac{x}{y}\bigr)}{y}, \qquad y\cdot\frac{\partial g}{\partial y} = y\,f'(y)\;-\;y\,f'\!\Bigl(\tfrac{x}{y}\Bigr)\,\frac{x}{y^2}.
Somando,
x\,\frac{\partial g}{\partial x}+y\,\frac{\partial g}{\partial y} =\frac{x}{y}f'\!\Bigl(\tfrac{x}{y}\Bigr) \;+\;y\,f'(y) \;-\;\frac{x}{y}f'\!\Bigl(\tfrac{x}{y}\Bigr) =y\,f'(y).

Resposta

x\,\frac{\partial g}{\partial x}+y\,\frac{\partial g}{\partial y}=y\,f'(y).

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