Determine o limite a seguir, se existir, ou mostre que não existe.
Passo 1
Este exercício trata de limite de função de várias variáveis: queremos
avaliar
avaliar
e verificar se esse limite existe (mesmo valor vindo de todos os caminhos).
Passo 2
Para mostrar que o limite depende do caminho, vamos escolher a superfície
. Nesse caso
e a função fica
Passo 3
Agora, na mesma superfície
, aproximamos pelo caminho reto
com
constante. Substituindo:
Esse valor independe de
e só depende de
.
Passo 4
Como o resultado
varia quando escolhemos diferentes
, o valor do limite muda conforme o caminho de aproximação. Logo, não existe um único valor que seja alcançado em todas as direções.
Passo 5
Portanto, concluímos que o limite não existe, pois não é independente do caminho.
Resposta
O limite não existe.