Determine o limite a seguir, se existir, ou mostre que não existe.
lim (x, y, z) (0,0,0) x y+y z^2+x z^2x^2+y^2+z^4

Passo 1

Este exercício trata de limite de função de várias variáveis: queremos
avaliar
lim(x,y,z)to(0,0,0)xy + y z^2 + x z^2x^2 + y^2 + z^4
e verificar se esse limite existe (mesmo valor vindo de todos os caminhos).

Passo 2

Para mostrar que o limite depende do caminho, vamos escolher a superfície z=0. Nesse caso z^2=0 e a função fica
xy + ycdot0 + xcdot0x^2 + y^2 + 0 = xyx^2+y^2

Passo 3

Agora, na mesma superfície z=0, aproximamos pelo caminho reto y = m x com m constante. Substituindo:
x,(m x)x^2 + (m x)^2 = m x^2x^2(1+m^2) = m1+m^2
Esse valor independe de x e só depende de m.

Passo 4

Como o resultado m/(1+m^2) varia quando escolhemos diferentes m, o valor do limite muda conforme o caminho de aproximação. Logo, não existe um único valor que seja alcançado em todas as direções.

Passo 5

Portanto, concluímos que o limite não existe, pois não é independente do caminho.

Resposta

O limite não existe.

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