Determine o limite das sequência ou demonstre que as mesmas divergem.
an=n(1-cos 1n)

Passo 1

Vamos analisar a sequência $ a_n = n\left(1 - \cos \frac{1}{n}\right) $. Nosso objetivo é determinar o limite dessa sequência quando $ n $ tende ao infinito ou, se não for possível, demonstrar que ela diverge. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de limites de sequências e utilizar uma aproximação trigonométrica.

Passo 2

Primeiro, percebemos que quando $ n $ cresce, $ \frac{1}{n} $ tende a zero. Isso nos indica que vamos analisar o comportamento de $ \cos \theta $ quando $ \theta $ está próximo de zero.

Passo 3

Sabemos que, para valores pequenos de $ \theta $, a função cosseno pode ser aproximada pela sua expansão em série de Taylor:
theta
Essa aproximação é válida para $ \theta $ próximo de zero e nos ajuda a simplificar a expressão.

Passo 4

Aplicando essa aproximação na nossa sequência:
cos 1n approx 1 - 12n^2
Substituindo na expressão de $ a_n $:
an

Passo 5

Simplificando a expressão:
an = 12n
Agora, precisamos determinar o limite de $ \frac{1}{2n} $ quando $ n $ tende ao infinito.

Passo 6

Sabemos que $ \frac{1}{n} $ tende a zero quando $ n $ tende ao infinito. Portanto:
1n

Resposta

O limite da sequência $ a_n = n\left(1 - \cos \frac{1}{n}\right) $ quando $ n $ tende ao infinito é 0.

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