Determine o limite das sequência ou demonstre que as mesmas divergem.
Passo 1
Vamos analisar a sequência $ a_n = n\left(1 - \cos \frac{1}{n}\right) $. Nosso objetivo é determinar o limite dessa sequência quando $ n $ tende ao infinito ou, se não for possível, demonstrar que ela diverge. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de limites de sequências e utilizar uma aproximação trigonométrica.
Passo 2
Primeiro, percebemos que quando $ n $ cresce, $ \frac{1}{n} $ tende a zero. Isso nos indica que vamos analisar o comportamento de $ \cos \theta $ quando $ \theta $ está próximo de zero.
Passo 3
Sabemos que, para valores pequenos de $ \theta $, a função cosseno pode ser aproximada pela sua expansão em série de Taylor:
Essa aproximação é válida para $ \theta $ próximo de zero e nos ajuda a simplificar a expressão.
Passo 4
Aplicando essa aproximação na nossa sequência:
Substituindo na expressão de $ a_n $:
Passo 5
Simplificando a expressão:
Agora, precisamos determinar o limite de $ \frac{1}{2n} $ quando $ n $ tende ao infinito.
Passo 6
Sabemos que $ \frac{1}{n} $ tende a zero quando $ n $ tende ao infinito. Portanto:
Resposta
O limite da sequência $ a_n = n\left(1 - \cos \frac{1}{n}\right) $ quando $ n $ tende ao infinito é 0.