Determine o limite da sequência infinita (1 pt. cada um)
a_{n}=\left(n e^{-n}\right)

Passo 1

O enunciado pede o valor de \lim_{n\to\infty}a_n, onde
a_{n}=n\,e^{-n}.
O conteúdo envolvido é limite de sequência, em que exponenciais crescem muito mais rápido que polinômios, e usaremos o teste da razão para fundamentar isso.

Passo 2

Reescrevendo
a_n = \frac{n}{e^n},
vemos qualitativamente que, à medida que n cresce, o denominador e^n cresce muito mais rápido que o numerador n, sugerindo que a_n\to0.

Passo 3

Para justificar de forma rigorosa, aplicamos o teste da razão, computando
\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n} =\lim_{n\to\infty}\frac{(n+1)e^{-(n+1)}}{n\,e^{-n}} =\lim_{n\to\infty}\frac{n+1}{n}\,\frac{1}{e} =\frac{1}{e}.
Como \tfrac1e<1, o teste da razão garante que a_n\to0.

Passo 4

Concluímos, portanto, que a sequência tende a zero quando n\to\infty.

Resposta

\lim_{n\to\infty}n\,e^{-n}=0.

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