Para quais valores de x a converge a série ( 2,0 pts)
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{2 n-1}}{2 n-1}
Passo 1
O enunciado pede para determinar para quais valores de x a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{2n-1}}{2n-1}
converge. O conteúdo principal aqui é teste de séries de potências, e vamos usar o critério da razão para achar o raio de convergência, seguido de análise nos extremos.
Passo 2
Denotando o termo geral por
a_n = \frac{x^{2n-1}}{2n-1},
aplicamos o teste da razão, calculando
L = \lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| =\lim_{n\to\infty}\left|\frac{x^{2(n+1)-1}}{2(n+1)-1}\cdot\frac{2n-1}{x^{2n-1}}\right| =\lim_{n\to\infty}|x|^2\frac{2n-1}{2n+1} =|x|^2.
Passo 3
Pelo critério da razão, a série converge se L<1, ou seja,
|x|^2<1 \quad\Longrightarrow\quad |x|<1.
Passo 4
Nos extremos x=1 e x=-1 temos respectivamente as séries \sum_{n=1}^\infty\frac{1}{2n-1} e \sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{2n-1}}{2n-1}=-\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{2n-1}. Ambas divergem pois se reduzem à soma dos inversos dos inteiros ímpares (que é divergente).