Determine a convergência ou não da seguinte séries utilizando alguns dos testes estudos (2 pts cada um).
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{\sqrt{n}+1}{n+1}

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\,\frac{\sqrt{n}+1}{n+1}
usando testes de séries. O conteúdo envolve testes de convergência absoluta e o Teste de Leibniz (alternating series test). Vamos primeiro verificar se há convergência absoluta e, em seguida, aplicar o Teste de Leibniz para a convergência condicional.

Passo 2

Verificação de convergência absoluta. Definimos
u_n = (-1)^{n}\,\frac{\sqrt{n}+1}{n+1}
e analisamos
\sum_{n=1}^\infty \bigl|u_n\bigr| = \sum_{n=1}^\infty \frac{\sqrt{n}+1}{n+1}.
Para n grande, \sqrt{n}+1\sim \sqrt{n} e n+1\sim n, logo
\frac{\sqrt{n}+1}{n+1}\sim \frac{\sqrt{n}}{n} = \frac{1}{\sqrt{n}}.
Como a série \sum 1/\sqrt{n} diverge (é p-série com p=1/2\le1), pelo Teste da Comparação Limite temos
\lim_{n\to\infty}\frac{(\sqrt{n}+1)/(n+1)}{1/\sqrt{n}} = \lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt{n}(\sqrt{n}+1)}{n+1} =1
e, portanto, \sum |u_n| diverge. Concluímos que a série não converge absolutamente.

Passo 3

Aplicação do Teste de Leibniz (alternating series test). Seja
a_n = \frac{\sqrt{n}+1}{n+1},
então a série é \sum(-1)^n a_n. Precisamos checar dois pontos:
  1. \displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n = 0.
    De fato,
    \lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt{n}+1}{n+1} = \lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt{n}}{n}\;\bigl(1+o(1)\bigr) = \lim_{n\to\infty}\frac{1}{\sqrt{n}} = 0.
  2. (a_n) é monótona decrescente para n grande.
    Defina f(x)=(\sqrt{x}+1)/(x+1) para x\ge1. Calculando a derivada,
    f'(x) =\frac{(x+1)\,\frac1{2\sqrt{x}} - (\sqrt{x}+1)\cdot1}{(x+1)^2} =-\frac{x+2\sqrt{x}-1}{2\sqrt{x}\,(x+1)^2},
    cujo numerador x+2\sqrt{x}-1>0 para x\ge1. Assim f'(x)<0 e f é decrescente em [1,\infty). Logo a_{n+1}<a_n para todo n\ge1.
Como a_n\to0 e (a_n) é decrescente, o Teste de Leibniz garante que
\sum_{n=1}^\infty (-1)^n a_n
converge.

Passo 4

Das análises acima temos:
  • A série não converge absolutamente.
  • Pelo Teste de Leibniz, ela converge condicionalmente.

Resposta

A série converge condicionalmente.

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