Utilizando alguns dos critérios estudados, determine a convergência (ou não) da seguinte série (2,0 pts)
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{6 n+19}

Passo 1

O enunciado nos dá a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{6n+19}
e pede para determinar se ela converge ou diverge. O conteúdo aqui são testes de convergência de séries numéricas, em particular o teste de comparação e o teste de série p (série harmônica quando p=1).

Passo 2

Lembremos que a série harmônica
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}
é um caso de série p com p=1 e diverge.

Passo 3

Para comparar com a harmônica, usamos o teste de comparação limite. Seja
a_n = \frac{1}{6n+19}, \quad b_n = \frac{1}{n}.
Calculamos o limite
\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n} = \lim_{n\to\infty}\frac{1/(6n+19)}{1/n} = \lim_{n\to\infty}\frac{n}{6n+19} = \frac{1}{6}.
Como esse limite é um número finito e estritamente positivo, as duas séries têm o mesmo comportamento: se a harmônica diverge, então
\sum a_n também diverge.

Passo 4

Portanto, pela comparação limite com a série harmônica, concluímos que
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{6n+19}
diverge.

Resposta

A série diverge.

Exercícios relacionados