Questão 2 (1 pontos). Diga se a função f(x, y)=cc 7 x^4 y3 x^4+3 y^4 & se (x, y) neq(0,0) 0 & se (x, y)=(0,0) é contínua na origem. Passo 1O enunciado define f(x,y)= 7x^4y3x^4+3y^4,& (x,y)neq(0,0), 0,& (x,y)=(0,0), e pede para verificar se f é contínua em (0,0). Isso significa estudar lim(x,y)to(0,0)f(x,y) e comparar com f(0,0)=0. Para funções de duas variáveis, uma técnica eficiente é usar coordenadas polares, pois tornam explícito o fator que tende a zero. Passo 2Mudamos para coordenadas polares, definindo x = rcostheta, y = rsintheta, onde r>=0 e thetain[0,2pi). Então x^4 = r^4cos^4theta, y^4 = r^4sin^4theta, x^4y = r^5cos^4thetasintheta Substituindo em f(x,y) para (x,y)neq(0,0), obtemos f(r,theta) = 7l(r^5cos^4thetasinthetar)3l(r^4cos^4theta + r^4sin^4thetar) = 7,r,cos^4theta,sintheta3l(cos^4theta + sin^4thetar) Passo 3Note que para todo theta cos^4theta + sin^4theta = (cos^2theta + sin^2theta)^2 - 2cos^2thetasin^2theta = 1 - 2cos^2thetasin^2theta >= 1 - 2cdot14 = tfrac12, pois cos^2thetasin^2theta<=14. Assim o denominador em f(r,theta) = 7,r,cos^4theta,sintheta3(cos^4theta + sin^4theta) é sempre maior ou igual a tfrac32. O numerador tem fator r e o resto é limitado por 1 em valor absoluto. Logo existe constante C tal que l|f(r,theta)r| <= C,r Isso implica limrto0f(r,theta)=0 uniformemente em theta. RespostaA função f é contínua na origem, pois lim(x,y)to(0,0)f(x,y)=0=f(0,0) MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAExercícios relacionadosDetermine se o limite underset(x, y) (x0, y0)lim existe nos seguintes casos: f(x, y)=x yy-2 x,(x0, y0)=(0,0) Calcule f^prime(x) para as funções f abaixo: f(x)=1sen(x-sen x) Questão 3 (1 pontos). Determine se a função a seguir é diferenciável z=y+sen(x / y) Em seguida encontre uma equação para o plano tangente e para a reta normal à superfície dada pela equação no ponto (x0, y0)=(0,3). Questão 4 (1 ponto). Se f(x, y)=raizx y, determine a taxa de variação de f no ponto P=(2,8) na direção de P ao ponto Q=(5,4). Em que direção f tem a máxima taxa de variação? Qual é a máxima taxa de variação?