Questão 2 (1 pontos). Diga se a função
f(x, y)=cc 7 x^4 y3 x^4+3 y^4 & se (x, y) neq(0,0) 0 & se (x, y)=(0,0)
é contínua na origem.

Passo 1

O enunciado define
f(x,y)= 7x^4y3x^4+3y^4,& (x,y)neq(0,0), 0,& (x,y)=(0,0),
e pede para verificar se f é contínua em (0,0). Isso significa estudar
lim(x,y)to(0,0)f(x,y)
e comparar com f(0,0)=0. Para funções de duas variáveis, uma técnica eficiente é usar coordenadas polares, pois tornam explícito o fator que tende a zero.

Passo 2

Mudamos para coordenadas polares, definindo
x = rcostheta, y = rsintheta,
onde r>=0 e thetain[0,2pi). Então
x^4 = r^4cos^4theta, y^4 = r^4sin^4theta, x^4y = r^5cos^4thetasintheta
Substituindo em f(x,y) para (x,y)neq(0,0), obtemos
f(r,theta) = 7l(r^5cos^4thetasinthetar)3l(r^4cos^4theta + r^4sin^4thetar) = 7,r,cos^4theta,sintheta3l(cos^4theta + sin^4thetar)

Passo 3

Note que para todo theta
cos^4theta + sin^4theta = (cos^2theta + sin^2theta)^2 - 2cos^2thetasin^2theta = 1 - 2cos^2thetasin^2theta >= 1 - 2cdot14 = tfrac12,
pois cos^2thetasin^2theta<=14. Assim o denominador em
f(r,theta) = 7,r,cos^4theta,sintheta3(cos^4theta + sin^4theta)
é sempre maior ou igual a tfrac32. O numerador tem fator r e o resto é limitado por 1 em valor absoluto. Logo existe constante C tal que
l|f(r,theta)r| <= C,r
Isso implica
limrto0f(r,theta)=0
uniformemente em theta.

Resposta

A função f é contínua na origem, pois
lim(x,y)to(0,0)f(x,y)=0=f(0,0)

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