Ache cada limite, se existe:
\lim _{x \rightarrow a} f(x)

Passo 1

O enunciado pede para encontrar cada limite
\lim_{x\to a} f(x)
porém o enunciado não fornece nenhuma informação sobre a função f nem sobre o ponto a. Não há expressão de f(x), nem gráfico, nem tabela de valores, nem indicação de que tipo de limite (por exemplo, lateral ou finito/infinito).
Portanto, com os dados atuais, não é possível calcular nenhum valor numérico específico. A resolução real só pode começar depois que soubermos a definição de f e o valor (ou os valores) de a.

Passo 2

O que significa, em termos claros, dizer que existe
\lim_{x\to a} f(x)=L\\ ?
Intuitivamente: conforme x se aproxima de a (mas x\neq a), os valores f(x) se aproximam cada vez mais de um número L. Formalmente (definição ε–δ):
\lim_{x\to a} f(x)=L \iff \forall \varepsilon>0\\ \exists \delta>0\\ \text{tal que}\\\ 0<|x-a|<\delta \implies |f(x)-L|<\varepsilon.
Explicando as peças: \varepsilon é a tolerância desejada no valor de f(x) em torno de L; \delta é a tolerância em torno de a que garante essa precisão. Essa é a definição precisa usada em provas; em exercícios práticos normalmente usamos técnicas algébricas para identificar L.

Passo 3

Condição necessária sobre limites laterais: para que o limite \lim_{x\to a} f(x) exista como número finito, é preciso que existam ambos os limites laterais
\lim_{x\to a^-} f(x)\quad\text{e}\quad \lim_{x\to a^+} f(x)
e que eles sejam iguais. Ou seja,
\lim_{x\to a} f(x) \text{ existe e é } L \iff \lim_{x\to a^-} f(x)=\lim_{x\to a^+} f(x)=L.é
Se os laterais são diferentes, o limite geral não existe. Se algum lateral diverge para \pm\infty, falamos que o limite não existe como número finito (pode-se dizer que o limite é infinito).

Passo 4

Técnicas práticas que eu uso em prova (cada técnica com quando aplicar):
  • Substituição direta: se f é contínua em a ou a expressão não se indetermina, basta calcular f(a). Ex.: polinômios, funções trigonométricas, exponenciais (quando o ponto está no domínio).
  • Fatoração / cancelamento: quando a expressão dá uma indeterminação do tipo \tfrac{0}{0}, fatorar numerador/denominador pode cancelar o fator que provoca a indeterminação.
  • Racionalização: útil quando aparecem raízes quadradas que geram indeterminação \tfrac{0}{0}. Multiplica-se por conjugado para eliminar a raiz.
  • Regra de L’Hôpital: quando temos indeterminações do tipo \tfrac{0}{0} ou \tfrac{\infty}{\infty} e as funções são diferenciáveis nas proximidades, podemos derivar numerador e denominador e recalcular o limite (usar com cuidado: verifique hipóteses).
  • Teorema do aperto (squeeze): se g(x)\le f(x)\le h(x) perto de a e \lim g = \lim h = L, então \lim f = L.
  • Substituições trigonométricas e aproximações: por exemplo, para x\to 0, \sin x\sim x e \lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1.
    Qual técnica usar depende da forma da expressão de f. Se não tivermos a expressão, não dá para escolher.

Passo 5

Três exemplos resolvidos, passo a passo, para treinar as técnicas acima.
Exemplo A — fatoração:
Calcular \displaystyle\lim_{x\to 1}\frac{x^2-1}{x-1}.
  1. Observe indeterminação: numerador em x=1 é 1^2-1=0 e denominador é 0 → forma \tfrac{0}{0}.
  2. Fatore o numerador:
x^2-1 = (x-1)(x+1).
  1. Cancela o fator comum (x-1) (válido para x\neq 1):
\frac{x^2-1}{x-1} = x+1 \quad\text{para } x\neq 1.
  1. Agora faça a substituição direta:
\lim_{x\to 1}\frac{x^2-1}{x-1} = \lim_{x\to 1} (x+1) = 2.
Então o limite existe e vale 2.
Exemplo B — racionalização:
Calcular \displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{1+x}-1}{x}.
  1. Forma \tfrac{0}{0} ao substituir x=0. Use o conjugado:
  2. Multiplique numerador e denominador por \sqrt{1+x}+1:
\frac{\sqrt{1+x}-1}{x}\cdot\frac{\sqrt{1+x}+1}{\sqrt{1+x}+1} = \frac{(1+x)-1}{x(\sqrt{1+x}+1)} = \frac{x}{x(\sqrt{1+x}+1)}.
  1. Cancele x (para x\neq 0):
\frac{1}{\sqrt{1+x}+1}.
  1. Agora substitua x\to 0:
\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{1+x}-1}{x} = \frac{1}{\sqrt{1+0}+1} = \frac{1}{2}.
Exemplo C — teorema do aperto:
Calcular \displaystyle\lim_{x\to 0} x^2\sin\!\left(\tfrac{1}{x}\right).
  1. Sabemos que -1\le \sin\!\left(\tfrac{1}{x}\right)\le 1 para todo x\neq 0.
  2. Multiplicando por x^2\ge 0:
- x^2 \le x^2\sin\!\left(\tfrac{1}{x}\right) \le x^2.
  1. Como \lim_{x\to 0} (-x^2)=0 e \lim_{x\to 0} x^2=0, pelo aperto:
\lim_{x\to 0} x^2\sin\!\left(\tfrac{1}{x}\right)=0.

Passo 6

Resumo prático do que eu preciso ver no enunciado para responder:
  • A expressão analítica de f(x) (ou um gráfico ou tabela de valores) perto de a.
  • O ponto a (pode ser um número real, \pm\infty, ou uma indicação de limite lateral).
    Com esses dados eu aplico as técnicas acima (fatoração, racionalização, L’Hôpital, squeeze, etc.) passo a passo e chego ao valor do limite ou concluo que ele não existe. Se você me mandar a expressão de f ou o gráfico / tabela com o ponto a, eu resolvo detalhadamente assim como nos exemplos e te explico cada passo.
Força aí — manda a função que eu te explico passo a passo!

Resposta

Não é possível determinar o valor de \lim_{x\to a} f(x) sem a definição de f e do ponto a.

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