Ache cada limite, se existe:
Passo 1
O enunciado pede para encontrar cada limite
porém o enunciado não fornece nenhuma informação sobre a função
nem sobre o ponto
. Não há expressão de
, nem gráfico, nem tabela de valores, nem indicação de que tipo de limite (por exemplo, lateral ou finito/infinito).
Portanto, com os dados atuais, não é possível calcular nenhum valor numérico específico. A resolução real só pode começar depois que soubermos a definição de e o valor (ou os valores) de
.
Portanto, com os dados atuais, não é possível calcular nenhum valor numérico específico. A resolução real só pode começar depois que soubermos a definição de
Passo 2
O que significa, em termos claros, dizer que existe
Intuitivamente: conforme
se aproxima de
(mas
), os valores
se aproximam cada vez mais de um número
. Formalmente (definição ε–δ):
Explicando as peças:
é a tolerância desejada no valor de
em torno de
;
é a tolerância em torno de
que garante essa precisão. Essa é a definição precisa usada em provas; em exercícios práticos normalmente usamos técnicas algébricas para identificar
.
Passo 3
Condição necessária sobre limites laterais: para que o limite
exista como número finito, é preciso que existam ambos os limites laterais
e que eles sejam iguais. Ou seja,
Se os laterais são diferentes, o limite geral não existe. Se algum lateral diverge para
, falamos que o limite não existe como número finito (pode-se dizer que o limite é infinito).
Passo 4
Técnicas práticas que eu uso em prova (cada técnica com quando aplicar):
- Substituição direta: se
é contínua em ou a expressão não se indetermina, basta calcular . Ex.: polinômios, funções trigonométricas, exponenciais (quando o ponto está no domínio). - Fatoração / cancelamento: quando a expressão dá uma indeterminação do tipo
, fatorar numerador/denominador pode cancelar o fator que provoca a indeterminação. - Racionalização: útil quando aparecem raízes quadradas que geram indeterminação
. Multiplica-se por conjugado para eliminar a raiz. - Regra de L’Hôpital: quando temos indeterminações do tipo
ou e as funções são diferenciáveis nas proximidades, podemos derivar numerador e denominador e recalcular o limite (usar com cuidado: verifique hipóteses). - Teorema do aperto (squeeze): se
perto de e , então . - Substituições trigonométricas e aproximações: por exemplo, para
, e .
Qual técnica usar depende da forma da expressão de. Se não tivermos a expressão, não dá para escolher.
Passo 5
Três exemplos resolvidos, passo a passo, para treinar as técnicas acima.
Exemplo A — fatoração:
Calcular .
Calcular
- Observe indeterminação: numerador em
é e denominador é → forma . - Fatore o numerador:
- Cancela o fator comum
(válido para ):
- Agora faça a substituição direta:
Então o limite existe e vale
.
Exemplo B — racionalização:
Calcular .
Calcular
- Forma
ao substituir . Use o conjugado: - Multiplique numerador e denominador por
:
- Cancele
(para ):
- Agora substitua
:
Exemplo C — teorema do aperto:
Calcular .
Calcular
- Sabemos que
para todo . - Multiplicando por
:
- Como
e , pelo aperto:
Passo 6
Resumo prático do que eu preciso ver no enunciado para responder:
- A expressão analítica de
(ou um gráfico ou tabela de valores) perto de . - O ponto
(pode ser um número real, , ou uma indicação de limite lateral).
Com esses dados eu aplico as técnicas acima (fatoração, racionalização, L’Hôpital, squeeze, etc.) passo a passo e chego ao valor do limite ou concluo que ele não existe. Se você me mandar a expressão deou o gráfico / tabela com o ponto , eu resolvo detalhadamente assim como nos exemplos e te explico cada passo.
Força aí — manda a função que eu te explico passo a passo!
Resposta
Não é possível determinar o valor de
sem a definição de
e do ponto
.