Ache cada limite, se existe:
f(x)=\frac{1}{x-8} \quad \mathrm{a}=8
a) \lim _{x \rightarrow a^{-}} f(x)
b) \lim _{x \rightarrow a^{+}} f(x)
c) \lim _{x \rightarrow a} f(x)

Passo 1

Enunciado claro e dados fornecidos: temos a função f(x)=\frac{1}{x-8} e o ponto a=8. O que nos pedem:
a) calcular \lim_{x\to 8^-} f(x) (limite pela esquerda);
b) calcular \lim_{x\to 8^+} f(x) (limite pela direita);
c) calcular \lim_{x\to 8} f(x) (limite bilateral, se existir).

Passo 2

Entendendo o que significa cada limite (em palavras simples):
  • \lim_{x\to 8^-} f(x) significa observar os valores de f(x) quando x se aproxima de 8 por valores menores que 8 (ou seja, x<8 e x fica cada vez mais próximo de 8).
  • \lim_{x\to 8^+} f(x) significa observar f(x) quando x se aproxima de 8 por valores maiores que 8 (ou seja, x>8 e x fica cada vez mais próximo de 8).
  • \lim_{x\to 8} f(x) existe somente se os dois limites laterais existirem e forem iguais.

Passo 3

Fórmula útil e mudança de variável simples (truque que facilita entender o sinal e o tamanho): escrevemos x=8+h, onde h é a diferença entre x e 8. Então
f(x)=\frac{1}{x-8}=\frac{1}{(8+h)-8}=\frac{1}{h}.
Agora, aproximar x\to 8 equivale a aproximar h\to 0. Especificamente:
  • se x\to 8^- então h\to 0^- (isto é, h é um número negativo pequeno);
  • se x\to 8^+ então h\to 0^+ (isto é, h é um número positivo pequeno).

Passo 4

Comportamento de \frac{1}{h} quando h se aproxima de 0:
  • Se h\to 0^- (pequenos negativos), então h é um número como -0{,}1, -0{,}01, -0{,}001, … e
\frac{1}{-0{,}1}=-10,\qquad \frac{1}{-0{,}01}=-100,\qquad \frac{1}{-0{,}001}=-1000,\\ \text{etc.}
Ou seja, os valores ficam negativos e com magnitude crescendo sem limite; representamos isso como -\infty. Portanto
\lim_{h\to 0^-}\frac{1}{h}=-\infty,
o que, voltando à variável x, dá
\lim_{x\to 8^-}\frac{1}{x-8}=-\infty.
  • Se h\to 0^+ (pequenos positivos), então h é um número como 0{,}1, 0{,}01, 0{,}001, … e
\frac{1}{0{,}1}=10,\qquad \frac{1}{0{,}01}=100,\qquad \frac{1}{0{,}001}=1000,\\ \text{etc.}
Ou seja, os valores ficam positivos e crescem sem limite; representamos isso como +\infty. Portanto
\lim_{h\to 0^+}\frac{1}{h}=+\infty,
ou, em x,
\lim_{x\to 8^+}\frac{1}{x-8}=+\infty.

Passo 5

Interpretação: limites que dão +\infty ou -\infty significam que a função cresce em módulo sem limite (tem uma assimptota vertical em x=8). Para o limite bilateral \lim_{x\to 8} f(x) existir precisamos que as duas aproximações (pela esquerda e pela direita) dêem o mesmo resultado finito ou ambos deem o mesmo tipo de infinito. Aqui temos limites laterais com sinais opostos ( -\infty e +\infty), então não são iguais. Logo o limite bilateral não existe.

Resposta

a) \lim_{x\to 8^-}\frac{1}{x-8}=-\infty
b) \lim_{x\to 8^+}\frac{1}{x-8}=+\infty
c) \lim_{x\to 8}\frac{1}{x-8} não existe

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