6^a ) Determine os limites

Passo 1

Beleza, o enunciado pede: determinar

Isso é cálculo de limites, mais especificamente trata-se de uma forma indeterminada do tipo .
Para resolver, vamos usar a técnica de “racionalização” (multiplicar pelo conjugado) e, depois, explorar como essas raízes se comportam quando cresce muito.

Passo 2

Observa que, quando raizx^2+1-raizx^2-1 ;times; raizx^2+1+raizx^2-1raizx^2+1+raizx^2-1 , tanto quanto tendem a . Logo temos um formão .
Pra sair disso, a gente multiplica e divide pela soma das mesmas raízes (o conjugado):

Passo 3

Fazendo essa conta, o numerador vira:
(raizx^2+1)^2-(raizx^2-1)^2 = (x^2+1)-(x^2-1)=2
E o denominador é
raizx^2+1+raizx^2-1
Então nosso limite fica
limxto+infty 2raizx^2+1+raizx^2-1

Passo 4

Para analisar isso quando raizx^2pm1=x,raiz1pm1x^2 (x>0) é grande, fatoramos xl(raiz1+tfrac1x^2+raiz1-tfrac1x^2r) dentro de cada raiz:
raiz1+tfrac1x^2+raiz1-tfrac1x^2;longrightarrow;1+1=2
Logo o denominador é
2xcdot2=1x,
Quando , temos , então
Assim o quociente vira aproximadamente
e quando .

Resposta

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