5^a ) Calcule os limites
(\lim _{x \rightarrow 1} \frac{\sqrt[3]{x^{2}}-2 \sqrt[3]{x}+1}{(x-1)^{2}}\

Passo 1

Resumo do enunciado: a gente quer
limxto1raiz[3]x^2-2raiz[3]x+1(x-1)^2
Conteúdo: limites de funções e fatoração de diferença de cubos.
O que vamos precisar:
  • Trocar variável usando raiz cúbica;
  • Fatorar pela fórmula ;
  • Cancelar termos e calcular o limite.

Passo 2

Troca de variável: seja
t = raiz[3]x,
então e, quando , a gente tem .

Passo 3

Reescrevendo numerador e denominador em função de t^2 ;-;2t;+;1 :
  • (t^3-1)^2 .
  • .
    Logo o numerador vira
E o denominador fica

Passo 4

Agora fatoramos t^3 - 1^3 = (t-1)l(t^2 + tcdot1 + 1^2r) = (t-1)(t^2+t+1) usando diferença de cubos:
(x-1)^2=(t^3-1)^2=(t-1)^2,(t^2+t+1)^2
Então
t^2 - 2t + 1(t-1)^2,(t^2+t+1)^2
Aí a nossa fração fica
1(t^2+t+1)^2
Repara que . Cancelando , sobra

Passo 5

Basta agora fazer limtto11(t^2+t+1)^2 =1(1^2+1+1)^2 =13^2 =19 :

Resposta

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