Determine os limites abaixo
Determine o limite caso exista ou mostre que não existe
lim (x, y) (0,0) 1-e^-(x^2+y^2)x^2+y^2

Passo 1

O enunciado pede
lim(x,y)to(0,0)1 - e^-(x^2+y^2)x^2+y^2
Este é um limite de função de duas variáveis. Vamos usar coordenadas polares e um limite conhecido de função exponencial para resolver.

Passo 2

Em coordenadas polares definimos
r = raizx^2+y^2, theta = arctan!l(y/xr)
Então x^2+y^2 = r^2 e a expressão vira
1 - e^-r^2r^2,
que não depende de theta.

Passo 3

O problema reduz-se a calcular o limite unidimensional
limrto0^+1 - e^-r^2r^2

Passo 4

Usamos a expansão de Taylor de e^-u em torno de u=0:
e^-u = 1 - u + O(u^2)
Tomando u=r^2 vem
1 - e^-r^2 = r^2 + O(r^4) Longrightarrow 1 - e^-r^2r^2 = 1 + O(r^2)
Logo, ao fazer rto0, esse quociente tende a 1.

Resposta

O limite existe e vale 1.

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