Determine se os limites abaixo existem, justificando:
lim (x, y) (0,0) 3 x^2 y^25 x^4+2 y^4

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o limite de
f(x,y)=3x^2y^25x^4+2y^4
quando (x,y)to(0,0) existe. O conteúdo é de limite de função de duas variáveis e para testar sua existência vamos usar o teste de dependência de caminho: se ao seguir caminhos diferentes o limite for diferente, então não existe.

Passo 2

Para ver se o valor do limite depende da reta y=kx, substituímos na expressão de f:
f(x,kx)=3x^2(kx)^25x^4+2(kx)^4 =3k^2x^4x^4(5+2k^4) =3k^25+2k^4
Note que esse resultado é constante em x mas depende de k.

Passo 3

Escolhemos dois caminhos para ver valores distintos. Se k=0 (eixo x) então
limxto0f(x,0)=3cdot0^25+2cdot0^4=0
Se k=1 (reta y=x) então
limxto0f(x,x)=3cdot1^25+2cdot1^4=37neq0
Como os limites por caminhos diferentes não coincidem, o limite geral não existe.

Resposta

O limite não existe, pois along caminhos diferentes (por exemplo y=0 e y=x) obtemos valores distintos (0 e 3/7).

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