Determine os limites abaixo:
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{\sqrt{2 x+y}-4}{2 x+y-16}

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular o limite
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{\sqrt{2x+y}-4}{2x+y-16}.
Informações dadas e observações imediatas:
  • A expressão depende apenas da combinação linear \;2x+y\;.
  • A raiz quadrada exige que \;2x+y\ge 0\; (caso contrário a expressão não está definida no conjunto dos números reais).
  • No ponto (0,0) temos \;2\cdot 0+0=0\;, então ao aproximarmos (x,y)\to(0,0) estamos forçando 2x+y\to 0 (pela direita ou igual a zero, já que \sqrt{\cdot} exige valores não-negativos).

Passo 2

Redução para uma variável: defina
t = 2x+y.
Assim a expressão fica uma função de t:
\frac{\sqrt{2x+y}-4}{2x+y-16} = \frac{\sqrt{t}-4}{t-16}.
Quando (x,y)\to(0,0) temos t\to 0 (com t\ge 0 nas pontos onde a função está definida). Portanto basta estudar o limite unidimensional
\lim_{t\to 0^+} \frac{\sqrt{t}-4}{t-16}.

Passo 3

Estratégia prática (truque do conjugado): a forma atual tem uma diferença com raiz no numerador; uma técnica clássica é multiplicar numerador e denominador pelo conjugado \sqrt{t}+4 para eliminar a raiz no numerador. Isso ajuda a simplificar a expressão e a avaliar o limite facilmente.

Passo 4

Aplicando o conjugado (mostrando cada passo com calma):
\frac{\sqrt{t}-4}{t-16}\cdot\frac{\sqrt{t}+4}{\sqrt{t}+4} = \frac{(\sqrt{t}-4)(\sqrt{t}+4)}{(t-16)(\sqrt{t}+4)}.
No numerador usamos a identidade (a-b)(a+b)=a^2-b^2 com a=\sqrt{t} e b=4, então
(\sqrt{t}-4)(\sqrt{t}+4) = (\sqrt{t})^2 - 4^2 = t - 16.
Substituindo,
\frac{(\sqrt{t}-4)(\sqrt{t}+4)}{(t-16)(\sqrt{t}+4)} = \frac{t-16}{(t-16)(\sqrt{t}+4)}.
Para t\neq 16 (e perto de t=0 claramente t\neq 16) podemos cancelar t-16, obtendo a forma simplificada
\frac{\sqrt{t}-4}{t-16} = \frac{1}{\sqrt{t}+4}.

Passo 5

Agora calculamos o limite na forma simplificada. Como t\to 0^+, temos \sqrt{t}\to 0. Então
\lim_{t\to 0^+} \frac{1}{\sqrt{t}+4} = \frac{1}{0+4} = \frac{1}{4}.
Explicando didaticamente: a função u\mapsto 1/(u+4) é contínua no ponto u=0 (pois o denominador não é zero), então podemos simplesmente substituir u=\sqrt{t}\to 0.

Passo 6

Conclusão e comentário final: como a expressão original depende só de t=2x+y e o limite unidimensional acima existe e vale \tfrac{1}{4}, o limite bidimensional pedido também vale \tfrac{1}{4}. Observação sobre domínio: apesar de a raiz exigir 2x+y\ge 0, há caminhos dentro desse domínio que aproximam (0,0), e a simplificação mostrou o valor do limite nesses caminhos; não há indeterminação porque o denominador no ponto-limite não é zero.

Resposta

\dfrac{1}{4}

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