Determine os limites abaixo:
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular o limite
Informações dadas e observações imediatas:
- A expressão depende apenas da combinação linear
. - A raiz quadrada exige que
(caso contrário a expressão não está definida no conjunto dos números reais). - No ponto
temos , então ao aproximarmos estamos forçando (pela direita ou igual a zero, já que exige valores não-negativos).
Passo 2
Redução para uma variável: defina
Assim a expressão fica uma função de
:
Quando
temos
(com
nas pontos onde a função está definida). Portanto basta estudar o limite unidimensional
Passo 3
Estratégia prática (truque do conjugado): a forma atual tem uma diferença com raiz no numerador; uma técnica clássica é multiplicar numerador e denominador pelo conjugado
para eliminar a raiz no numerador. Isso ajuda a simplificar a expressão e a avaliar o limite facilmente.
Passo 4
Aplicando o conjugado (mostrando cada passo com calma):
No numerador usamos a identidade
com
e
, então
Substituindo,
Para
(e perto de
claramente
) podemos cancelar
, obtendo a forma simplificada
Passo 5
Agora calculamos o limite na forma simplificada. Como
, temos
. Então
Explicando didaticamente: a função
é contínua no ponto
(pois o denominador não é zero), então podemos simplesmente substituir
.
Passo 6
Conclusão e comentário final: como a expressão original depende só de
e o limite unidimensional acima existe e vale
, o limite bidimensional pedido também vale
. Observação sobre domínio: apesar de a raiz exigir
, há caminhos dentro desse domínio que aproximam
, e a simplificação mostrou o valor do limite nesses caminhos; não há indeterminação porque o denominador no ponto-limite não é zero.