Determine os limites abaixo:
lim x infty(e^x+x)^2x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
limx inftyl(e^x+xr)^2x
O conteúdo envolvido é o cálculo de limite de função do tipo base to infty, expoente to 0, onde usamos a transformação
f(x)^g(x) = expl(g(x),ln(f(x))r)
e propriedades de logaritmo para simplificar.

Passo 2

Definimos
L = limx inftyl(e^x+xr)^2x
e estudamos o limite do logaritmo:
ln L = limx infty 2x,lnl(e^x+xr)

Passo 3

Dentro do logaritmo usamos
lnl(e^x+xr) = lnl(e^xl(1 + x,e^-xr)r) = x + lnl(1 + x,e^-xr)
Logo,
ln L = limx infty!l( 2x,(x) ;+;2x,lnl(1 + x,e^-xr)r) = limx inftyl(2 + 2x,lnl(1 + x,e^-xr)r)

Passo 4

Note que x,e^-xto0 quando xtoinfty, então ln(1 + x,e^-x)sim x,e^-x e
2x,lnl(1 + x,e^-xr)longrightarrow 0
Assim ln L = 2.

Resposta

Portanto
limx inftyl(e^x+xr)^2x = e^2

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