Determine os limites nos Exercicios 51-66.
lim x c^+(ln x)^1 /(x-c)

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite
limxto c^+(ln x)^1/(x-c)
O conteúdo envolve limites de funções onde o expoente depende de x. Para resolver, vamos usar a transformação logarítmica e, se necessário, a regra de l’Hôpital.

Passo 2

Definimos
L = limxto c^+(ln x)^1/(x-c)
e, supondo que exista (pode ser finito ou infinito), aplicamos o logaritmo natural para obter
ln L = limxto c^+ ln(ln x)x-c

Passo 3

Note que (ln x)^1/(x-c) só é real para x>1, o que exige c>1. A forma de ln L ao aproximar xto c^+ depende do valor de ln(ln c).

Passo 4

Se ln(ln c)neq0, o numerador tende a uma constante não nula e o denominador a 0^+. Logo,
ln L=limxto c^+ln(ln x)x-c = +infty,&se ln(ln c)>0 (c>e), -infty,&se ln(ln c)<0 (1<c<e)
Isso implica
L=limxto c^+(ln x)^1/(x-c) = +infty,&c>e, 0,&1<c<e

Passo 5

Se ln(ln c)=0, ou seja c=e, temos forma 0/0 e aplicamos a regra de l’Hôpital:
ln L =limxto eln(ln x)x-e =limxto e1xln x1 =1eln e =1e
Portanto
L=e^1/e quando c=e

Resposta

limxto c^+(ln x)^1/(x-c) = 0,&1<c<e, e^1/e,&c=e, +infty,&c>e

Exercícios relacionados