Determine os limites nos exercícios
a) \lim \frac{1}{x^{2}-4} quando
\checkmark \quad x \rightarrow 2^{+}
\checkmark \quad x \rightarrow 2^{-}
\checkmark \quad x \rightarrow-2^{+}
\checkmark \quad x \rightarrow-2^{-}
b) \lim \frac{x^{2}-3 x+2}{x^{3}-2 x^{2}} quando
\checkmark \quad x \rightarrow 0^{+}
\checkmark \quad x \rightarrow 2^{+}
\checkmark x \rightarrow 2^{-}
\checkmark \quad x \rightarrow 2
\checkmark Podemos dizer algo sobre o limite quando x \rightarrow 0 ? O quê?

Passo 1

O enunciado pede para calcular vários limites de funções racionais que podem divergir para \pm\infty ou tender a valor finito. O conteúdo principal é análise de comportamento assintótico, estudando o sinal do denominador perto de pontos que anulam o denominador, e fatoração para eliminar indeterminações do tipo \tfrac{0}{0}.

Passo 2

Para a parte (a), temos a função
f(x)=\frac{1}{x^2-4} \;,
cujo denominador se anula em x=\pm2. Perto desses pontos, estudamos o sinal de x^2-4:
  • Se x^2-4>0, então f(x)>0 e f(x)\to+\infty se x^2-4\to0^+.
  • Se x^2-4<0, então f(x)<0 e f(x)\to-\infty se x^2-4\to0^-.

Passo 3

Calcular \lim_{x\to2^+}\frac{1}{x^2-4}. Para x\to2^+, x^2-4\to0^+, logo
\lim_{x\to2^+}\frac{1}{x^2-4}=+\infty.

Passo 4

Calcular \lim_{x\to2^-}\frac{1}{x^2-4}. Para x\to2^-, x^2-4\to0^-, logo
\lim_{x\to2^-}\frac{1}{x^2-4}=-\infty.

Passo 5

Calcular \lim_{x\to-2^+}\frac{1}{x^2-4}. Para x\to-2^+ (ex.: -1.9), x^2-4\to0^-, logo
\lim_{x\to-2^+}\frac{1}{x^2-4}=-\infty.

Passo 6

Calcular \lim_{x\to-2^-}\frac{1}{x^2-4}. Para x\to-2^- (ex.: -2.1), x^2-4\to0^+, logo
\lim_{x\to-2^-}\frac{1}{x^2-4}=+\infty.

Passo 7

Para a parte (b), a função é
g(x)=\frac{x^2-3x+2}{x^3-2x^2}.
Fatora-se numerador e denominador:
x^2-3x+2=(x-1)(x-2), \qquad x^3-2x^2=x^2(x-2).
Para x\neq0,2,
g(x)=\frac{(x-1)(x-2)}{x^2(x-2)} =\frac{x-1}{x^2}.

Passo 8

Calcular \lim_{x\to0^+}g(x). Usando g(x)=\frac{x-1}{x^2}, quando x\to0^+ o numerador \to-1 e o denominador \to0^+, então
\lim_{x\to0^+}g(x)=-\infty.

Passo 9

Calcular \lim_{x\to2^+}g(x) e \lim_{x\to2^-}g(x). Para x\to2, pelo fator cancelado usamos diretamente
\lim_{x\to2}\frac{x-1}{x^2}=\frac{2-1}{2^2}=\frac{1}{4}.
Como o valor é o mesmo pelas duas bandas,
\lim_{x\to2^+}g(x) =\lim_{x\to2^-}g(x) =\frac{1}{4},
logo também \lim_{x\to2}g(x)=\tfrac{1}{4}.

Passo 10

Podemos dizer algo sobre \lim_{x\to0}g(x)? Como \lim_{x\to0^+}g(x)=-\infty e, simetricamente, para x\to0^- o denominador x^2 continua \to0^+ e o numerador \to-1, temos
\lim_{x\to0^-}g(x)=-\infty.
Logo o limite bilateral em x\to0 é -\infty (não existe como número real, mas diverge para -\infty).

Resposta

a)
\displaystyle \lim_{x\to2^+}\frac{1}{x^2-4}=+\infty
\displaystyle \lim_{x\to2^-}\frac{1}{x^2-4}=-\infty
\displaystyle \lim_{x\to-2^+}\frac{1}{x^2-4}=-\infty
\displaystyle \lim_{x\to-2^-}\frac{1}{x^2-4}=+\infty
b)
\displaystyle \lim_{x\to0^+}\frac{x^2-3x+2}{x^3-2x^2}=-\infty
\displaystyle \lim_{x\to2^+}\frac{x^2-3x+2}{x^3-2x^2}=\frac{1}{4}
\displaystyle \lim_{x\to2^-}\frac{x^2-3x+2}{x^3-2x^2}=\frac{1}{4}
\displaystyle \lim_{x\to2}\frac{x^2-3x+2}{x^3-2x^2}=\frac{1}{4}
Podemos dizer que
\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{x^2-3x+2}{x^3-2x^2}=-\infty.

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