Verifique se a série é convergente ou divergente. Use o teste da comparação no limite.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2 n+1}
A série é convergente.
A série é divergente.

Passo 1

O enunciado pede para verificar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2n+1}
usando o teste da comparação no limite. O conteúdo é séries numéricas e vamos comparar com uma série conhecida para decidir convergência ou divergência.

Passo 2

Escolhemos como série comparadora a série harmônica
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n},
que sabemos ser divergente. Definimos
a_n = \frac{1}{2n+1} \quad\text{e}\quad b_n = \frac{1}{n}.

Passo 3

Aplicamos o teste da comparação no limite, calculando
L = \lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{b_n} = \lim_{n\to\infty} \frac{\frac{1}{2n+1}}{\frac{1}{n}} = \lim_{n\to\infty} \frac{n}{2n+1} = \frac{1}{2}.
Como 0 < L < \infty, as duas séries têm o mesmo comportamento de convergência.

Passo 4

A série comparadora \sum 1/n diverge, logo a série original
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2n+1}
também diverge pelo teste da comparação no limite.

Resposta

A série é divergente.

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