Verifique se a série é convergente ou divergente.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n+3^{n}}
A série é convergente.
A série é divergente.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n+3^{n}}
é convergente ou divergente. O conteúdo aqui é testes de convergência de séries numéricas, e vamos usar o teste de comparação com uma série geométrica conhecida.

Passo 2

Note que, para todo n\ge1, vale
n + 3^n \ge 3^n,
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\frac{1}{n + 3^n} \le \frac{1}{3^n}.
Sabemos que a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{3^n}
é geométrica de razão r=\tfrac{1}{3} e, como \lvert r\rvert<1, essa série converge.

Passo 3

Pelo teste de comparação, como
0 \le \frac{1}{n+3^n} \le \frac{1}{3^n}
e a série de termo maior \sum 1/3^n converge, segue que
\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n+3^n} também converge.

Resposta

A série é convergente.

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