Use o Teorema de Stokes para calcular ∬_{S} r o t \vec{F} \cdot d S.
\overrightarrow{\mathbf{F}}(x, y, z)=\arctan \left(x^{2} y z^{2}\right) \overrightarrow{\mathbf{i}}+x^{2} y \overrightarrow{\mathbf{j}}+x^{2} z^{2} \overrightarrow{\mathbf{k}} S é o cone x=\sqrt{y^{2}-z^{2}}, 0 \leq x \leq 2, orientado na direção do eixo positivo x.

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial
\overrightarrow{\mathbf{F}}(x,y,z)=\arctan\!\big(x^{2} y z^{2}\big)\,\overrightarrow{\mathbf{i}}+x^{2}y\,\overrightarrow{\mathbf{j}}+x^{2}z^{2}\,\overrightarrow{\mathbf{k}}
e a superfície S descrita por x=\sqrt{y^{2}-z^{2}},\;0\le x\le 2, orientada na direção do eixo positivo x. O pedido é calcular
\iint_{S}\operatorname{rot}\overrightarrow{\mathbf{F}}\cdot d\overrightarrow{S}.
Observação necessária: a forma escrita x=\sqrt{y^{2}-z^{2}} é equivalente (ao quadrar) a y^{2}=x^{2}+z^{2}. Para obter uma superfície tipo cone com eixo no sentido do eixo x e com vértice único em x=0 (caso padrão para aplicar Stokes de forma simples), interpreto a superfície como a porção do cone
x=\sqrt{y^{2}+z^{2}},\qquad 0\le x\le 2,
ou seja, o ramo com x\ge 0 do cone x^{2}=y^{2}+z^{2}. Se mantivéssemos o sinal menos sem essa interpretação a superfície teria interseções estranhas na placa x=0 e ficaria mal comportada como superfície com bordo fechado. Vou seguir com a interpretação acima (o cone usual com eixo no x-positivo).
O objetivo será usar o Teorema de Stokes para trocar a integral de superfície pela integral de linha ao longo da fronteira \partial S.

Passo 2

Enunciado do Teorema de Stokes (em palavras e fórmula): se S é uma superfície orientada com vetor normal unitário \mathbf{n} e \partial S é sua fronteira orientada consistentemente, então
\iint_{S}\operatorname{rot}\overrightarrow{\mathbf{F}}\cdot d\overrightarrow{S}=\oint_{\partial S}\overrightarrow{\mathbf{F}}\cdot d\overrightarrow{r}.
Aqui d\overrightarrow{S}=\mathbf{n}\,dS e d\overrightarrow{r} é o vetor tangente ao contorno. A orientação de \partial S é dada pela regra da mão direita: com o polegar apontando na direção do vetor normal escolhido, os dedos enrolados indicam a orientação positiva de \partial S.
Vou aplicar Stokes calculando a integral de linha \oint_{\partial S}\overrightarrow{\mathbf{F}}\cdot d\overrightarrow{r}, que normalmente é mais simples que avaliar diretamente \operatorname{rot}\overrightarrow{\mathbf{F}} e integrar sobre o cone.

Passo 3

Determinação da fronteira \partial S e sua orientação.
  • A superfície S é a porção do cone x=\sqrt{y^{2}+z^{2}} com 0\le x\le 2.
  • No plano x=0 a única solução é y=z=0, ou seja, o vértice do cone; esse ponto isolado não é curva de contorno.
  • A borda não-trivial é a interseção do cone com a superfície x=2. Substituindo x=2 em x^{2}=y^{2}+z^{2} obtemos y^{2}+z^{2}=4,que é um círculo de raio 2 no plano x=2. Logo \partial S é esse círculo.
Orientação: a superfície foi orientada na direção do eixo positivo x, ou seja, o vetor normal escolhido tem componente positiva em x. Pela regra da mão direita, com o polegar apontando para +\!x, o sentido positivo de \partial S é o sentido anti-horário quando olhamos para a superfície a partir do lado positivo do eixo x. Em coordenadas, uma parametrização padrão com t aumentando dará esse sentido.

Passo 4

Parametrização da curva \partial S (o círculo de raio 2 no plano x=2) com a orientação correta.
Escolhemos
\overrightarrow{r}(t)=\big(2,\;2\cos t,\;2\sin t\big),\qquad 0\le t\le 2\pi.
Verificação da orientação: em t=0 estamos em (2,2,0). Para pequenos t>0 o ponto vai para (2,2\cos t,2\sin t) com z>0, ou seja, a curva gira de y positivo para z positivo — isso corresponde à orientação dada pela regra da mão direita com normal apontando para +\!x. Portanto a parametrização tem a orientação correta.
Derivada:
\overrightarrow{r}\,'(t)=\big(0,\,-2\sin t,\;2\cos t\big).

Passo 5

Expressar \overrightarrow{\mathbf{F}} ao longo de \overrightarrow{r}(t) e montar a integral de linha \oint_{\partial S}\overrightarrow{\mathbf{F}}\cdot d\overrightarrow{r}=\int_{0}^{2\pi}\overrightarrow{\mathbf{F}}(\overrightarrow{r}(t))\cdot\overrightarrow{r}\,'(t)\,dt.
Para \overrightarrow{r}(t) temos x=2, y=2\cos t, z=2\sin t. Calculemos as componentes de \overrightarrow{\mathbf{F}} em \overrightarrow{r}(t):
  • Primeira componente:
    P=\arctan\!\big(x^{2}yz^{2}\big)=\arctan\!\big(4\cdot(2\cos t)\cdot(4\sin^{2}t)\big) =\arctan\!\big(32\cos t\sin^{2}t\big).
  • Segunda componente:
    Q=x^{2}y=4\cdot 2\cos t=8\cos t.
  • Terceira componente:
    R=x^{2}z^{2}=4\cdot 4\sin^{2}t=16\sin^{2}t.
Agora o produto escalar
\overrightarrow{\mathbf{F}}(\overrightarrow{r}(t))\cdot\overrightarrow{r}\,'(t) = P\cdot 0 + Q\cdot(-2\sin t) + R\cdot(2\cos t).
Note com calma: o termo com P multiplica dx que é zero porque x é constante na curva ( dx/dt=0). Isso elimina a parte com o arctan, que é a mais complicada. Assim
\overrightarrow{\mathbf{F}}(\overrightarrow{r}(t))\cdot\overrightarrow{r}\,'(t) = -2Q\sin t + 2R\cos t.
Substituindo Q e R:
\overrightarrow{\mathbf{F}}(\overrightarrow{r}(t))\cdot\overrightarrow{r}\,'(t) = -2\cdot(8\cos t)\sin t + 2\cdot(16\sin^{2}t)\cos t.
Simplificando:
\overrightarrow{\mathbf{F}}(\overrightarrow{r}(t))\cdot\overrightarrow{r}\,'(t) = -16\cos t\sin t + 32\sin^{2}t\cos t.

Passo 6

Avaliar a integral
I=\oint_{\partial S}\overrightarrow{\mathbf{F}}\cdot d\overrightarrow{r} =\int_{0}^{2\pi}\big(-16\cos t\sin t + 32\sin^{2}t\cos t\big)\,dt.
Calcule cada termo separadamente.
  1. Para o primeiro termo use a identidade \sin(2t)=2\sin t\cos t:
\int_{0}^{2\pi} -16\cos t\sin t\,dt = -8\int_{0}^{2\pi}\sin(2t)\,dt = -8\big[-\tfrac{1}{2}\cos(2t)\big]_{0}^{2\pi} =4\big(\cos(4\pi)-\cos 0\big)=4(1-1)=0.
  1. Para o segundo termo faça a substituição u=\sin t,\;du=\cos t\,dt (ou reconheça primitiva imediata):
\int_{0}^{2\pi}32\sin^{2}t\cos t\,dt = 32\int_{0}^{2\pi}\sin^{2}t\cos t\,dt =32\left[\tfrac{1}{3}\sin^{3}t\right]_{0}^{2\pi} =\tfrac{32}{3}\big(\sin^{3}(2\pi)-\sin^{3}0\big)=0.
Somando os dois termos obtemos I=0+0=0.

Passo 7

Pelo Teorema de Stokes a integral de superfície é igual à integral de linha que calculámos. Portanto
\iint_{S}\operatorname{rot}\overrightarrow{\mathbf{F}}\cdot d\overrightarrow{S} =\oint_{\partial S}\overrightarrow{\mathbf{F}}\cdot d\overrightarrow{r}=0.

Resposta

0

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