Use o Teorema de Stokes para calcular
.
é o cone
, orientado na direção do eixo positivo
.
Passo 1
O enunciado dá o campo vetorial
e a superfície
descrita por
, orientada na direção do eixo positivo
. O pedido é calcular
Observação necessária: a forma escrita
é equivalente (ao quadrar) a
. Para obter uma superfície tipo cone com eixo no sentido do eixo
e com vértice único em
(caso padrão para aplicar Stokes de forma simples), interpreto a superfície como a porção do cone
ou seja, o ramo com
do cone
. Se mantivéssemos o sinal menos sem essa interpretação a superfície teria interseções estranhas na placa
e ficaria mal comportada como superfície com bordo fechado. Vou seguir com a interpretação acima (o cone usual com eixo no
-positivo).
O objetivo será usar o Teorema de Stokes para trocar a integral de superfície pela integral de linha ao longo da fronteira
.
Passo 2
Enunciado do Teorema de Stokes (em palavras e fórmula): se
é uma superfície orientada com vetor normal unitário
e
é sua fronteira orientada consistentemente, então
Aqui
e
é o vetor tangente ao contorno. A orientação de
é dada pela regra da mão direita: com o polegar apontando na direção do vetor normal escolhido, os dedos enrolados indicam a orientação positiva de
.
Vou aplicar Stokes calculando a integral de linha
, que normalmente é mais simples que avaliar diretamente
e integrar sobre o cone.
Passo 3
Determinação da fronteira
e sua orientação.
- A superfície
é a porção do cone com . - No plano
a única solução é , ou seja, o vértice do cone; esse ponto isolado não é curva de contorno. - A borda não-trivial é a interseção do cone com a superfície
. Substituindo em obtemos que é um círculo de raio no plano . Logo é esse círculo.
Orientação: a superfície foi orientada na direção do eixo positivo
, ou seja, o vetor normal escolhido tem componente positiva em
. Pela regra da mão direita, com o polegar apontando para
, o sentido positivo de
é o sentido anti-horário quando olhamos para a superfície a partir do lado positivo do eixo
. Em coordenadas, uma parametrização padrão com
aumentando dará esse sentido.
Passo 4
Parametrização da curva
(o círculo de raio
no plano
) com a orientação correta.
Escolhemos
Verificação da orientação: em
estamos em
. Para pequenos
o ponto vai para
com
, ou seja, a curva gira de
positivo para
positivo — isso corresponde à orientação dada pela regra da mão direita com normal apontando para
. Portanto a parametrização tem a orientação correta.
Derivada:
Passo 5
Expressar
ao longo de
e montar a integral de linha
.
Para
temos
,
,
. Calculemos as componentes de
em
:
-
Primeira componente:
-
Segunda componente:
-
Terceira componente:
Agora o produto escalar
Note com calma: o termo com
multiplica
que é zero porque
é constante na curva (
). Isso elimina a parte com o arctan, que é a mais complicada. Assim
Substituindo
e
:
Simplificando:
Passo 6
Avaliar a integral
Calcule cada termo separadamente.
- Para o primeiro termo use a identidade
:
- Para o segundo termo faça a substituição
(ou reconheça primitiva imediata):
Somando os dois termos obtemos
.
Passo 7
Pelo Teorema de Stokes a integral de superfície é igual à integral de linha que calculámos. Portanto