Determine se os limites existem. Se existir, determine o seu valor: lim (x, y) (0,0) x^4-y^4x^2+y^2=0

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o limite lim(x,y)to(0,0)x^4 - y^4x^2 + y^2 existe e, em caso afirmativo, encontrar seu valor. O assunto é limite de função de duas variáveis e teremos que lidar com a forma indeterminada 0/0.

Passo 2

Ao aproximar (x,y)to(0,0), tanto o numerador x^4 - y^4 quanto o denominador x^2 + y^2 vão a zero, dando indeterminação. Para resolver isso, fazemos a mudança para coordenadas polares: x = rcosθ, y = rsinθ, com r = raizx^2+y^2.
Em coordenadas polares temos

Passo 3

A função cos^4θ - sin^4θ é limitada entre -1 e 1. Então
- r^2 <= r^2(cos^4θ - sin^4θ) <= r^2
Como r^2to0 quando rto0, pelo Teorema do Confronto o limite vale 0 independentemente de θ. Assim o limite existe e é 0.

Resposta

0

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