Resolva as seguintes equações diferenciais homogêneas de 2^{\circ} ordem. Resolva o PVI se as condições iniciais forem dadas.
2 y^{\prime \prime}+8 y-6=0, y^{\prime}(0)=0 e y(0)=2

Passo 1

O enunciado fornece a equação diferencial e condições iniciais (peguei tudo do enunciado):
  • Equação: 2\,y''+8\,y-6=0.
  • Condições iniciais: y(0)=2 e y'(0)=0.
O que é pedido:
  • Resolver a equação diferencial e, como foram dadas condições iniciais, resolver o problema de valor inicial (PVI) encontrando a solução y(x) que satisfaz a equação e as condições em x=0.

Passo 2

Primeiro rearranjo a equação para uma forma mais clara, dividindo por 2:
y''+4y=3.
Explicação didática do plano de ataque (sem termos técnicos abstratos): para uma equação linear de segunda ordem com coeficientes constantes e um lado direito que é uma função simples (aqui uma constante), a solução geral é a soma de duas partes:
  1. uma solução geral da equação homogênea associada (ou seja, quando o lado direito é zero);
  2. uma solução particular que compensa o termo do lado direito.
Vou seguir este método porque é direto e rápido para o caso de termos constantes no lado direito.

Passo 3

Calculo a solução da equação homogênea associada:
y_h''+4y_h=0.
Para resolver esse tipo, uso a equação característica: suponho y_h=e^{rx} e obtenho
r^2+4=0.
Resolvendo,
r=\pm 2i.
Quando as raízes são complexas conjugadas \pm \, \mathrm{i}\omega com \omega=2, a forma da solução homogênea é combinação de cosseno e seno:
y_h(x)=C_1\cos(2x)+C_2\sin(2x),
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias que serão determinadas pelas condições iniciais. Intuição rápida: as raízes puramente imaginárias indicam solução oscilatória com frequência 2.

Passo 4

Agora procuro uma solução particular y_p para a equação completa \,y''+4y=3.
Dado que o termo à direita é uma constante, tento uma solução particular constante: y_p=A com A constante.
Substituindo em \,y''+4y=3:
0 + 4A = 3 \quad\Rightarrow\quad A=\tfrac{3}{4}.
Explicação do porquê: se y_p é constante, sua segunda derivada é zero, sobrando apenas 4A=3.

Passo 5

A solução geral da equação não-homogênea é a soma
y(x)=y_h(x)+y_p(x)=\tfrac{3}{4}+C_1\cos(2x)+C_2\sin(2x).
Isso reúne a parte oscilatória (graus de liberdade da homogênea) e a compensação constante do lado direito.

Passo 6

Agora aplico as condições iniciais para determinar C_1 e C_2.
Primeiro y(0)=2. Avaliando y(0):
y(0)=\tfrac{3}{4}+C_1\cos 0 + C_2\sin 0 = \tfrac{3}{4}+C_1.
Logo
\tfrac{3}{4}+C_1=2 \quad\Rightarrow\quad C_1=2-\tfrac{3}{4}=\tfrac{5}{4}.
Agora uso y'(0)=0. Calculo y'(x):
y'(x) = -2C_1\sin(2x)+2C_2\cos(2x).
Avaliando em x=0:
y'(0) = -2C_1\cdot 0 + 2C_2\cdot 1 = 2C_2.
Pela condição y'(0)=0 segue
2C_2=0 \quad\Rightarrow\quad C_2=0.

Passo 7

Substituo os valores encontrados em y(x):
y(x)=\tfrac{3}{4}+\tfrac{5}{4}\cos(2x).
Posso também escrever factorando \tfrac{1}{4}: y(x)=\dfrac{3+5\cos(2x)}{4}. Esta é a solução do PVI que satisfaz a equação diferencial e as condições iniciais.

Resposta

y(x)=\tfrac{3}{4}+\tfrac{5}{4}\cos(2x)

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