Resolva as seguintes equações diferenciais homogêneas de
ordem. Resolva o PVI se as condições iniciais forem dadas.
e
Passo 1
O enunciado fornece a equação diferencial e condições iniciais (peguei tudo do enunciado):
- Equação:
. - Condições iniciais:
e .
O que é pedido:
- Resolver a equação diferencial e, como foram dadas condições iniciais, resolver o problema de valor inicial (PVI) encontrando a solução
que satisfaz a equação e as condições em .
Passo 2
Primeiro rearranjo a equação para uma forma mais clara, dividindo por
:
Explicação didática do plano de ataque (sem termos técnicos abstratos): para uma equação linear de segunda ordem com coeficientes constantes e um lado direito que é uma função simples (aqui uma constante), a solução geral é a soma de duas partes:
- uma solução geral da equação homogênea associada (ou seja, quando o lado direito é zero);
- uma solução particular que compensa o termo do lado direito.
Vou seguir este método porque é direto e rápido para o caso de termos constantes no lado direito.
Passo 3
Calculo a solução da equação homogênea associada:
Para resolver esse tipo, uso a equação característica: suponho
e obtenho
Resolvendo,
Quando as raízes são complexas conjugadas
com
, a forma da solução homogênea é combinação de cosseno e seno:
onde
e
são constantes arbitrárias que serão determinadas pelas condições iniciais. Intuição rápida: as raízes puramente imaginárias indicam solução oscilatória com frequência
.
Passo 4
Agora procuro uma solução particular
para a equação completa
.
Dado que o termo à direita é uma constante, tento uma solução particular constante: com
constante.
Substituindo em :
Dado que o termo à direita é uma constante, tento uma solução particular constante:
Substituindo em
Explicação do porquê: se
é constante, sua segunda derivada é zero, sobrando apenas
.
Passo 5
A solução geral da equação não-homogênea é a soma
Isso reúne a parte oscilatória (graus de liberdade da homogênea) e a compensação constante do lado direito.
Passo 6
Agora aplico as condições iniciais para determinar
e
.
Primeiro
. Avaliando
:
Logo
Agora uso
. Calculo
:
Avaliando em
:
Pela condição
segue
Passo 7
Substituo os valores encontrados em
:
Posso também escrever factorando
:
. Esta é a solução do PVI que satisfaz a equação diferencial e as condições iniciais.