Nos Exercícios de la 14 determine se a série alternada dada é convergente ou divergente.
\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^{n+1} \frac{1}{2 n}

Passo 1

O enunciado nos dá a série
\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^{n+1}\frac{1}{2n}.
O que se pede: determinar se essa série é convergente ou divergente.
Informações explícitas que temos:
  • O fator (-1)^{n+1} mostra que os termos alternam de sinal.
  • Os termos de módulo são \dfrac{1}{2n} para n=1,2,\dots.

Passo 2

Defino a sequência dos termos positivos (os módulos)
a_n=\frac{1}{2n},\qquad n=1,2,\dots
Primeiro vou verificar duas propriedades importantes dessa sequência: (i) se a_n é decrescente (monótona não crescente) e (ii) se a_n\to0 quando n\to\infty. Essas duas propriedades costumam ser exigidas para testes de séries alternadas.

Passo 3

Verificando que a_n é decrescente. Quero mostrar que a_{n+1}<a_n para todo n\ge1. Escrevo
a_{n+1}=\frac{1}{2(n+1)},\qquad a_n=\frac{1}{2n}.
Como n+1>n, temos 2(n+1)>2n. Invertendo a desigualdade para números positivos obtemos
\frac{1}{2(n+1)}<\frac{1}{2n},
ou seja,
a_{n+1}<a_n.
Portanto (a_n) é estritamente decrescente.

Passo 4

Verificando que a_n\to0 quando n\to\infty. É bem conhecido (e fácil de ver) que
\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0.
Multiplicando por \tfrac{1}{2} (constante) mantém o limite, logo
\lim_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{2n}=\frac{1}{2}\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0.

Passo 5

Enunciando o teste que vamos usar (forma didática): se (a_n) é uma sequência de números positivos, monótona decrescente e com \lim_{n\to\infty}a_n=0, então a série alternada
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}a_n
(convenção de sinal não importa muito) converge. Este resultado é conhecido como Critério de Leibniz para séries alternadas. A ideia intuitiva é que as somas parciais formam duas subsequências (uma das somas ímpares e outra das pares) que são monotônicas e limitadas, por isso convergem para o mesmo limite.
Aplicando o critério de Leibniz ao nosso caso: tomamos a_n=\dfrac{1}{2n}. Já mostramos que a_n>0, a_n é decrescente e a_n\to0. Portanto a série
\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^{n+1}\frac{1}{2n}
converge.

Passo 6

Agora é importante distinguir convergência absoluta de convergência condicional. Verifico a série dos módulos:
\sum_{n=1}^{\infty}\left|(-1)^{n+1}\frac{1}{2n}\right|=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2n}=\frac{1}{2}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}.
A série harmônica \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n} é divergente. Multiplicar por \tfrac12 não muda a divergência, logo \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{2n} diverge. Portanto a série original não é absolutamente convergente.
Conclusão lógica: a série converge (pela alternância e a_n\to0), mas não converge absolutamente. Isso chama-se convergência condicional.

Passo 7

Bônus prático (útil na prova): estimativa do resto (erro) ao truncar a série após N termos. Pelo critério de Leibniz vale o estimador de resto: se S é a soma da série e S_N a soma parcial até n=N, então
|S-S_N|\le a_{N+1}=\frac{1}{2(N+1)}.
Isto é útil para saber quantos termos são necessários para garantir um erro menor que uma tolerância desejada.

Resposta

A série converge condicionalmente (converge pelo critério de Leibniz, mas não converge absolutamente).

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