Determine os limites infinitos, quando existirem:
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1}{x^{3}}

Passo 1

O enunciado pede para determinar
\lim_{x\to0}\frac{1}{x^3},
que é um caso de limite infinito (vertical) de uma função da forma 1/x^n. Para resolver, vamos usar o comportamento de x^3 próximo de zero e analisar separadamente x\to0^+ e x\to0^-, pois o sinal de x^3 muda conforme x é positivo ou negativo.

Passo 2

Analisando
\lim_{x\to0^+}\frac{1}{x^3},
quando x>0 e muito pequeno, x^3>0 e tende a 0, logo o quociente \tfrac{1}{x^3} cresce sem limite. Portanto,
\lim_{x\to0^+}\frac{1}{x^3} = +\infty.

Passo 3

Analisando
\lim_{x\to0^-}\frac{1}{x^3},
quando x<0 e muito próximo de zero, x^3<0 e tende a 0, logo \tfrac{1}{x^3} é uma grande magnitude negativa. Portanto,
\lim_{x\to0^-}\frac{1}{x^3} = -\infty.

Passo 4

Como os limites laterais são infinitos de sinais opostos, o limite bidirecional não existe.

Resposta

\lim_{x\to0^+}\frac{1}{x^3} = +\infty,
\lim_{x\to0^-}\frac{1}{x^3} = -\infty,
e consequentemente
\lim_{x\to0}\frac{1}{x^3}
não existe.

Exercícios relacionados